Teorema dos resíduos

Em análise complexa, o teorema dos resíduos é um método de cálculo de integrais de funções analíticas ao longo de caminhos fechados simples que generaliza a fórmula de Cauchy.

EnunciadoEditar

Seja   um aberto simplesmente conexo de   (tal como, por exemplo, um disco aberto ou todo o plano complexo), seja   uma parte finita de  , seja   uma função analítica de   em   e seja   um lacete com valores em  . Então o teorema dos resíduos afirma que

 

onde

  •   é o índice de   relativamente a  ;
  •  é o resíduo da função   em  .

ExemplosEditar

  • Considere-se a função   de   em C definida por   e o lacete   de [0,2π] em   definido por  . Um cálculo direto revela que
 

o que é coerente com o que diz o teorema dos resíduos, pois este afirma que (tomando  )

 
  • Considere-se a função   de   em   definida por  e o lacete   de   em   definido por  . Então, pelo teorema dos resíduos,
 

Relação com a fórmula integral de CauchyEditar

Seja   uma função analítica cujo domínio contenha algum disco fechado  , para algum   e para algum  . Se se definir o lacete   de   em   por  , então faz sentido, para cada   tal que  , considerar o integral de  ao longo de   e a fórmula de Cauchy diz que

 

Mas, visto que   e que

 

isto não é mais do que um caso particular do teorema dos resíduos.

BibliografiaEditar

  • L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.