Teorema dos resíduos

Em análise complexa, o teorema dos resíduos é um método de cálculo de integrais de funções analíticas ao longo de caminhos fechados simples que generaliza a fórmula de Cauchy.

Enunciado

Seja $U$ um aberto simplesmente conexo de $\mathbb {C}$ (tal como, por exemplo, um disco aberto ou todo o plano complexo), seja $\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\}$ uma parte finita de $U$, seja $f$ uma função analítica de $U-\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\}$ em $\mathbb {C}$ e seja $\gamma$ um lacete com valores em $U$. Então o teorema dos resíduos afirma que

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {ind} (a_{k},\gamma )\operatorname {res} (a_{k},f)$

onde

• ${\text{ind}}(a_{k},\gamma )$ é o índice de $\gamma$ relativamente a $a_{k}$;
• ${\text{res}}(a_{k},f)$é o resíduo da função $f$ em $a_{k}$.

Exemplos

• Considere-se a função $f$ de $\mathbb {C} -\{0\}$ em C definida por $f(z):=1/z$ e o lacete $\gamma$ de [0,2π] em $\mathbb {C}$ definido por $\gamma (t)=\cos(t)+{\text{i}}\sin(t)=e^{{\text{i}}t}$. Um cálculo direto revela que

$\int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)}}\,dt=2\pi i,$

o que é coerente com o que diz o teorema dos resíduos, pois este afirma que (tomando $U=\mathbb {C}$)

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(z)\,dz=\operatorname {ind} (0,\gamma )\operatorname {res} (0,f)=1\times 1=1.$

• Considere-se a função $f$ de $\mathbb {C} -\{\pm 1\}$ em $\mathbb {C}$ definida por $f(z):={\cfrac {z}{z^{2}-1}}$e o lacete $\gamma$ de $[0,2\pi ]$ em $\mathbb {C}$ definido por $\gamma (t)=2\cos(t)+{\text{i}}\sin(t)$. Então, pelo teorema dos resíduos,

${\begin{aligned}\int _{\gamma }f(z)\,dz&=2\pi i\left(\operatorname {ind} (1,\gamma )\operatorname {res} (1,f)+\operatorname {ind} (-1,\gamma )\operatorname {res} (-1,f)\right)\\&=2\pi i\left(1\times {\frac {1}{2}}+1\times {\frac {1}{2}}\right)\\&=2\pi i.\end{aligned}}$

Relação com a fórmula integral de Cauchy

Seja $f$ uma função analítica cujo domínio contenha algum disco fechado ${\big \{}z\in \mathbb {C} :|z-w|\leq r{\big \}}$, para algum $w\in \mathbb {C}$ e para algum $r>0$. Se se definir o lacete $\gamma$ de $[0,2\pi ]$ em $\mathbb {C}$ por $\gamma (t)=w+r\cdot e^{{\text{i}}t}$, então faz sentido, para cada $a\in \mathbb {C}$ tal que $|a-w|<r$, considerar o integral de ${\cfrac {f(z)}{z-a}}$ao longo de $\gamma$ e a fórmula de Cauchy diz que

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz=f(a).$

Mas, visto que ${\text{ind}}(a,\gamma )=1$ e que

$\operatorname {res} \left(a,{\frac {f(z)}{z-a}}\right)=f(a)$

isto não é mais do que um caso particular do teorema dos resíduos.

Bibliografia

• L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.