Método de Lax–Wendroff

O método de Lax–Wendroff, em homenagem a Peter Lax e Burton Wendroff, é um método numérico para a resolução de equações hiperbólicas em derivadas parciais, baseado em diferenças finitas. É um método de segunda ordem no tempo e no espaço. Lax e Wendroff apresentaram um método de discretização de segunda ordem para a solução de equações hiperbólicas, o que substituiu o método de Lax-friedrichs.

Ilustração do método

Para determinar o método de Lax-Wendroff, podemos expandir a variável $u$ em séries de Taylor e truncar os termos até a segunda ordem:

$(1)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+\Delta t\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\right)+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\right)$

Relacionando as derivadas do tempo e do espaço:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=-c{\frac {\partial u}{\partial x}}$

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\right)=-c{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-c{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

Podemos fazer substituições na equação (1), obtendo:

$(2)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-c\Delta t\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+c^{2}{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)$

Usando diferenças centradas de primeira e segunda ordem em relação ao espaço:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}$

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}$

E substituindo em (2), obtemos assim o método de Lax-Wendroff:

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {c\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right)+{\frac {c^{2}\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)$

O qual também pode ser mostrado em relação ao número de Courant–Friedrichs–Lewy(CFL):

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\sigma }{2}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)$

Referências

• P.D Lax; B. Wendroff (1960). «Systems of conservation laws». Commun. Pure Appl Math. 13 (2): 217–237. doi:10.1002/cpa.3160130205 
• Michael J. Thompson, An Introduction to Astrophysical Fluid Dynamics, Imperial College Press, London, 2006.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). «Section 20.1. Flux Conservative Initial Value Problems». Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd ed. New York: Cambridge University Press. p. 1040. ISBN 978-0-521-88068-8