Número primo equilibrado

Na teoria dos números, um primo equilibrado é um número primo com intervalos entre primos de igual tamanho acima e abaixo, de modo que é igual à média aritmética dos primos mais próximos acima e abaixo. Ou colocando algebricamente, dado um número primo , onde n é o índice no conjunto ordenado de números primos,

ExemplosEditar

Os primeiros primos equilibrados são

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103...

Por exemplo, 53 é o décimo sexto primo. Os primos décimo quinto e décimo sétimo, 47 e 59, somam 106, cuja metade é 53. Sendo assim, 53 é um número primo equilibrado.

Quando 1 era considerado um número primo, 2 teria sido considerado o primeiro primo equilibrado pois

 

InfinitudeEditar

É conjecturado que há infinitamente muitos primos equilibrados.

Três primos consecutivos em progressão aritmética são às vezes chamados de CPAP-3. Um primo equilibrado é, por definição, o segundo primo em um CPAP-3. Desde 2014, o maior e mais conhecido CPAP-3 tem 10546 dígitos e foi encontrado por David Broadhurst. Ele é:[1]

 

O valor de n (a sua posição na sequência de todos os números primos) não é conhecido.

GeneralizaçãoEditar

Os primos equilibrados podem ser generalizados a primos equilibrado de ordem n. Um primo equilibrado de ordem n é um número primo que é igual à média aritmética dos n números primos mais próximos acima e abaixo. Algebricamente, dado um número primo  , onde k é o índice no conjunto ordenado de números primos,

 

Assim, um primo equilibrado comum é um primo equilibrado de primeira ordem. As sequências de primos equilibrados de ordens 2, 3 e 4 são dadas pelas sequências A082077, A082078 e A082079 na OEIS respectivamente.


Referências