Intervalo entre primos

Um intervalo entre primos consecutivos é a diferença entre dois números primos sucessivos. O n-ésimo intervalo de primos, denotado por gn ou g(pn) (Usa-se a letra g do inglês prime gap) é a diferença entre (n + 1)-ésimo é o n-ésimo números primos, i.e.

Distribuição de frequência dos intervalos entre primos consecutivos para primos até 1,6 bilhões. Os picos ocorrem em múltiplos de 6. [1]

Tem-se que g1 = 1, g2 = g3 = 2, e g4 = 4. A sequência (gn) dos intervalos entre primos é intensamente estudada, por conta de sua importância na distribuição dos números primos. Apesar disso, diversas conjecturas permanecem sem demonstração ou refutação. Os primeiros 60 intervalos entre dois primos consecutivos são:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (sequência A001223 na OEIS).

Pela definição de gn, todo número primo pode ser escrito como

Observações iniciaisEditar

O primeiro, menor e único intervalo entre primos consecutivos ímpar é 1, entre o único número primo par, 2, e o primeiro número primo ímpar, 3. Todos os outros intervalos entre primos são pares, pelo fato de quaisquer dois primos consecutivos maiores que 3 terem diferença par. Existe apenas um par de intervalos entre três números naturais ímpares dos quais todos são primos. Estes intervalos são g2 eg3 entre os primos 3, 5 e 7 (o único par de números primos trigêmeos).

Para algum número primo P, escrevemos P# para representar P primorial, ou seja, o produto de todos os números primos menores ou iguais a P. Se Q é o número primo seguinte a P, então a sequência

 

é uma sequência Q − 2 números inteiros compostos, onde temos um intervalo entre primos de tamanho mínimo Q − 1. Portanto, existem intervalos entre primos de tamanho arbitrariamente longos, i.e., para cada número primo P, existe um inteiro n com g. Outra forma de ver que intervalos arbitrariamente grandes de primos é o fato de que a densidade de números primos se aproxima de zero, de acordo com o Teorema do Número Primo.

Na verdade, intervalos entre primos de P números podem ocorrer com números muito menores que P#. Por exemplo, a menor sequência de 71 números inteiros compostos consecutivos ocorre entre 31398 e 31468, enquanto 71# tem vinte e sete dígitos – seu valor total é 557940830126698960967415390.


Ainda que os intervalos das diferenças entre primos aumentem assintoticamente como o logaritmo neperiano, a razão dos intervalos entre primos para os inteiros decresce e assintoticamente é 0. Isso é novamente consequência do teorema do número primo.

Na direção oposta, a conjectura dos primos gêmeos afirma que gn = 2 para infinitos valores inteiros de n.

Resultados numéricosEditar

O maior intervalo entre dois primos conhecidos até 2016 com prováveis primos identificados tem tamanho 4680156, com números primos de 99750 dígitos encontrada por Martin Raab. O maior intervalo entre dois primos com primos já provados tem tamanho 1113106, com números primos de 18662 encontrados por P. Cami, M. Jansen and J. K. Andersen.[2][3]

Dizemos que gn é um intervalo maximal, se gm < gn   m < n. O maior intervalo maximal conhecido até agosto de 2016 tem tamanho 1476, encontrado por Tomás Oliveira e Silva. É o septuagésimo-sétimo intervalo maximal, e ocorre após o número primo 1425172824437699411.[4] Outros recordes de intervalos maximais podem ser vistos em (sequência A002386 na OEIS).

Em 1931, Westzynthius provou que os intervalos entre primos cresce de forma maior do que a logarítmica. Ou seja, [5]

 

Normalmente, a razão gn / ln(pn) é chamada de mérito de um intervalo entre primos gn .

Maiores valores de "mérito" conhecidos (até novembro de 2016)[6][7][8]
Mérito gn algarismos pn Data Descobridor
36,858288 10716 127   2016 Dana Jacobsen
36,590183 13692 163   2016 Dana Jacobsen
36,420568 26892 321   2016 Dana Jacobsen
35,424459 66520 816   2012 Michiel Jansen
35,310308 1476 19 1425172824437699411 2009 Tomás Oliveira e Silva

Até novembro de 2016, o maior valor de "mérito" conhecido foi descoberto por Dana Jacobsen, sendo

 

onde 283# indica o primorial de 283.[6]

A razão de Cramér–Shanks–Granville é dada por

  [6]

O maior valor conhecido dessa razão é 0,9206386 para o primo 1693182318746371. Outros termos recordes estão em (sequência A111943 na OEIS).

Os 75 primeiros intervalos maximais (n não está listado)
Números de 1 a 25
# gn pn
1 1 2
2 2 3
3 4 7
4 6 23
5 8 89
6 14 113
7 18 523
8 20 887
9 22 1 129
10 34 1 327
11 36 9 551
12 44 15 683
13 52 19 609
14 72 31 397
15 86 155 921
16 96 360 653
17 112 370 261
18 114 492 113
19 118 1 349 533
20 132 1 357 201
21 148 2 010 733
22 154 4 652 353
23 180 17 051 707
24 210 20 831 323
25 220 47 326 693
Números de 26 a 50
# gn pn
26 222 122 164 747
27 234 189 695 659
28 248 191 912 783
29 250 387 096 133
30 282 436 273 009
31 288 1 294 268 491
32 292 1 453 168 141
33 320 2 300 942 549
34 336 3 842 610 773
35 354 4 302 407 359
36 382 10 726 904 659
37 384 20 678 048 297
38 394 22 367 084 959
39 456 25 056 082 087
40 464 42 652 618 343
41 468 127 976 334 671
42 474 182 226 896 239
43 486 241 160 624 143
44 490 297 501 075 799
45 500 303 371 455 241
46 514 304 599 508 537
47 516 416 608 695 821
48 532 461 690 510 011
49 534 614 487 453 523
50 540 738 832 927 927
Números de 51 a 75
# gn pn
51 582 1 346 294 310 749
52 588 1 408 695 493 609
53 602 1 968 188 556 461
54 652 2 614 941 710 599
55 674 7 177 162 611 713
56 716 13 829 048 559 701
57 766 19 581 334 192 423
58 778 42 842 283 925 351
59 804 90 874 329 411 493
60 806 171 231 342 420 521
61 906 218 209 405 436 543
62 916 1 189 459 969 825 483
63 924 1 686 994 940 955 803
64 1 132 1 693 182 318 746 371
65 1 184 43 841 547 845 541 059
66 1 198 55 350 776 431 903 243
67 1 220 80 873 624,627,234,849
68 1 224 203 986 478 517 455 989
69 1 248 218 034 721 194 214 273
70 1 272 305 405 826 521 087 869
71 1 328 352 521 223 451 364 323
72 1 356 401 429 925 999 153 707
73 1 370 418 032 645 936 712 127
74 1 442 804 212 830 686 677 669
75 1 476 1 425 172 824 437 699 411

Resultados posterioresEditar

Limite superiorEditar

O postulado de Bertrand, provado em 1852, afirma que sempre existe um número primo entre k e 2k, em particular pn+1 < 2pn, o que significa que gn < pn.

O teorema do número primo, provado em 1896, diz que as distâncias totais entre dois intervalos entre o primo p e o próximo primo é ln(p). O real tamanho do intervalo pode ser muito maior ou menor. Apesar disso, o teorema do número primo nos deduz um limite superior para o tamanho dos intervalos entre primos: Para todo ε > 0, existe um número N tal que

gn < εpn   n > N.

Pode-se deduzir que os intervalos arbitrariamente pequenos tem proporções com os números primos a partir do limite do quociente


 

Hoheisel em 1930 foi o primeiro a mostrar[9] que existe uma constante θ < 1 tal que

 

mostrando assim que

 

para n suficientemente grande.

Hoheisel obteve um possível valor   para θ. O valor da constante foi posteriormente aprimorado para   Heilbronn,[10] e para θ = 3/4 + ε, para algum ε > 0, por Chudakov.[11]

O melhor resultado é devido a Ingham,[12] que mostrou que

 

para alguma constante positiva c, onde O' refere-se à notação de ordem de grandeza, e

 

para algum  . ζ denota a função zeta de Riemann e π a função contagem de números primos. Sabendo que para algum   é admissível, obtém-se que θ é um número maior que  .

Uma consequência imediata do resultado de Ingham é que sempre existe um número primo entre n3 e (n + 1)3, se n é suficientemente grande.[13] A hipótese de Lindelöf pode implicar que a fórmula de Ingham funciona para qualquer constante positiva c: mas mesmo isso não é o suficiente para implicar que existe um número primo entre n2 e (n + 1)2 para n suficientemente grande (veja a Conjectura de Legendre). Para verificar isso, um resultado mais forte como a conjectura de Cramér se faz necessária.

Huxley em 1972 mostrou que pode-se escolher θ = \frac{7}{12} = 0,58(3).[14]

Um resultado, devido a Baker, Harman e Pintz em 2001, mostrou que θ pode ser tomado como sendo 0,525.[15]

Em 2005, Daniel Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım demonstraram que

 

e dois anos mais tarde mostraram que [16]

 

Em 2013, Yitang Zhang provou que

 

significando assim que existem infinitos intervalos entre dois primos consecutivos que não excedem 70 milhões.[17] Um esforço colaborativo do projeto Polymath Project é feito para otimizar o limite de Zhang.[18] Em novembro de 2013, James Maynard criou um novo refinamento, permitindo a ele reduzir o limite para 600 e mostra que para algum m existe um intervalo maximal de m números primos.[19] Usando as ideias de Maynard, o projeto Polymath melhorou o limite para 46;[18][20] assumindo a conjectura de Elliott–Halberstam, N pode ser reduzido para 12 e 6, respectivamente.[18]

Limites inferioresEditar

Em 1938, Robert Rankin provou a existência de uma constante c > 0 tal que a desigualdade

 

funciona para infinitos valores de n, melhorando os resultados de Westzynthius e Paul Erdős. Ele posteriormente mostrou que esta constante pode ser c < eγ,onde γ é a constante de Euler–Mascheroni. O valor da constante c foi melhorado em 1997 para um valor menor que 2eγ.[21]

Paul Erdős ofereceu um prêmio de $10000 (10000 dólares) para uma prova ou refutação de que a constante c na desigualdade acima pode ser tomado como sendo arbitrariamente grande. Foi provado como sendo correto em 2014 por Ford–Green–Konyagin–Tao e, de forma independente, por James Maynard.[22][23]

O resultado foi posteriormente melhorado para

 

para infinitos valores de n por Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao.[24]

Limites inferiores para cadeias de primos podem então ser determinados.[25]

Conjecturas sobre o intervalo entre primosEditar

 
A função de intervalo entre primos.

Mesmo melhores resultados estão condicionados à hipótese de Riemann. Harald Cramér demonstrou[26] que a hipótese de Riemann inplica que gn satisfaz[27]

 

Posteriormente, ele conjecturou que esses valores são sempre menores. Ou seja, a conjectura de Cramér utiliza a seguinte assertiva:

 

A conjectura de Firoozbakht afirma que   (onde   é o n-ésimo número primo) é uma função estritamente decrescente de n, i.e.,

 

Se esta conjectura for verdadeira, então a função   satisfaz

 [28]

Isso implica na forma forte da conjectura de Crámer, mas é inconsistente com as heurísticas de Granville e Pintz[29][30][31] que sugere que   vale para   onde   denota a constante de Euler-Mascheroni.

Enquanto isso, a conjectura de Oppermann é mais fraca que a conjectura de Cramér. O tamanho esperado de um intervalo entre dois primos consecutivos com a conjectura de Oppermann é da ordem de

 

Como resultado, isso significa (assumindo a conjectura de Oppermann como verdadeira) m > 0 (provavelmente m = 30) para todo número natual n > m satisfaz  

A conjectura de Andrica, a qual é mais fraca que a de Oppermann, afirma que[32]

 

Como uma função aritméticaEditar

O tamanho do intervalo gn entre o n-ésimo e o (n + 1)-ésimo números primos é um exemplo de função aritmética. Nesse contexto, é usualmente denotada por dn e chamada de função diferença entre primos.[32] Esta função não aditiva nem multiplicativa. [33]

Programa em PythonEditar

Vários tipos de programas podem ser feitos para calcular o valor de  , sendo um importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tem-se uma versão para Python, que calcula   para os números primos entre 1 e 10000 (até ao número primo 9973): [34]


def prime(num):
    for divisor in range(2, num):
        if num % divisor == 0:
            return False
    return True

list_prime = []
for i in range(1,10000):
    if prime(i):
        list_prime.append(i)
        
for n in range(2, len(list_prime)):
    print(f'g({n-1}) = {list_prime[n] - list_prime[n-1]}')

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

Referências

  1. "Hidden structure in the randomness of the prime number sequence?", S. Ares & M. Castro, 2005
  2. Andersen, Jens Kruse. «The Top-20 Prime Gaps». Consultado em 13 de junho de 2014 
  3. Intervalo de tamanho 1113106
  4. Intervalos maximais
  5. Westzynthius, E. (1931), «Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind», Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (em alemão), 5: 1–37, JFM 57.0186.02, Zbl 0003.24601 .
  6. a b c NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT
  7. Dynamic prime gap statistics
  8. «TABLES OF PRIME GAPS». Consultado em 9 de janeiro de 2017. Cópia arquivada em 20 de junho de 2016 
  9. Hoheisel, G. (1930). «Primzahlprobleme in der Analysis». Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 33: 3–11. JFM 56.0172.02 
  10. Heilbronn, H. A. (1933). «Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel». Mathematische Zeitschrift. 36 (1): 394–423. doi:10.1007/BF01188631 
  11. Tchudakoff, N. G. (1936). «On the difference between two neighboring prime numbers». Math. Sb. 1: 799–814 
  12. Ingham, A. E. (1937). «On the difference between consecutive primes». Quarterly Journal of Mathematics. Oxford Series. 8 (1): 255–266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255 
  13. Cheng, Yuan-You Fu-Rui (2010). «Explicit estimate on primes between consecutive cubes». Rocky Mt. J. Math. 40: 117–153. Zbl 1201.11111. doi:10.1216/rmj-2010-40-1-117 
  14. Huxley, M. N. (1972). «On the Difference between Consecutive Primes». Inventiones Mathematicae. 15 (2): 164–170. doi:10.1007/BF01418933 
  15. Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, J. (2001). «The difference between consecutive primes, II». Proceedings of the London Mathematical Society. 83 (3): 532–562. doi:10.1112/plms/83.3.532 
  16. Goldston, D. A.; Pintz, J.; Yildirim, C. Y. (2007). «Primes in Tuples II». arXiv:0710.2728  [math.NT] 
  17. Zhang, Yitang (2014). «Bounded gaps between primes». Annals of Mathematics. 179 (3): 1121–1174. MR 3171761. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7 
  18. a b c «Bounded gaps between primes». Polymath. Consultado em 21 de julho de 2013 
  19. Maynard, James (2015). «Small gaps between primes». Annals of Mathematics. 181 (1): 383–413. MR 3272929. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7 
  20. D.H.J. Polymath (2014). «Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes». Research in the Mathematical Sciences. 1 (12). MR 3373710. arXiv:1407.4897 . doi:10.1186/s40687-014-0012-7 
  21. Pintz, J. (1997). «Very large gaps between consecutive primes». J. Number Theory. 63 (2): 286–301. doi:10.1006/jnth.1997.2081 
  22. Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Tao, Terence (2016). «Large gaps between consecutive prime numbers». Ann. Of Math. 183 (3): 935–974. MR 3488740. arXiv:1408.4505 . doi:10.4007/annals.2016.183.3.4 
  23. Maynard, James (2016). «Large gaps between primes». Ann. Of Math. 183 (3): 915–933. MR 3488739. arXiv:1408.5110 . doi:10.4007/annals.2016.183.3.3 
  24. Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence (2015). «Long gaps between primes». arXiv:1412.5029  [math.NT] 
  25. Ford, Kevin; Maynard, James; Tao, Terence (13 de outubro de 2015). «Chains of large gaps between primes». arXiv:1511.04468  [math.NT] 
  26. Cramér, Harald (1936). «On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers» (PDF). Acta Arithmetica. 2: 23–46 
  27. [1]
  28. Sinha, Nilotpal Kanti (2010). «On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture». arXiv:1010.1399  [math.NT] .
  29. Granville, A. (1995). «Harald Cramér and the distribution of prime numbers» (PDF). Scandinavian Actuarial Journal. 1: 12–28 .
  30. Granville, Andrew (1995). «Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers» (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematicians. 1: 388–399 .
  31. Pintz, János (2007). «Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes». Funct. Approx. Comment. Math. 37 (2): 232–471 
  32. a b Guy (2004) §A8
  33. [2]
  34. [3]