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Números complexos p-ádicos, em álgebra, são os conjuntos construídos a partir dos números p-ádicos por processos análogos à construção dos números complexos a partir dos números racionais.

Os números complexos, historicamente, podem ser vistos como tendo sido construídos a partir dos números naturais através de dois processos: resolver equações polinomiais e completar os conjuntos obtidos para que eles não tenham "buracos". Em uma primeira etapa, é construído a partir de ao se exigir que toda equação da forma a + x = b, com a e b naturais, tenha solução. Na etapa seguinte, é construído a partir de ao incluir as soluções das equações a x = b com a e b inteiros.[Nota 1] Pode-se agora definir uma noção de distância entre números, e a partir daí define-se o que é uma sequência de Cauchy. Duas sequências de Cauchy são equivalentes quando a diferença entre seus termos converge para zero (esta é, obviamente, uma relação de equivalência). Os números reais são construídos a partir dos números racionais como as classes de equivalência das sequências de Cauchy de números racionais, e não é complicado definir adição, subtração, multiplicação e divisão destas classes de equivalência, de forma que seja um corpo.[1]

A partir de , os matemáticos decidiram que seria interessante que equações como x2 + 1 = 0 também tivessem solução, e isto levou à construção do corpo dos números complexos como os números da forma a + b i, com a e b reais. Um fato surpreendente, denominado como Teorema Fundamental da Álgebra, é que este conjunto dos números complexos tem a propriedade notável de que qualquer equação polinomial com coeficientes complexos tem uma solução complexa. Além disso, a noção de distância nos reais pode ser estendida a uma noção de distância nos complexos, e é completo em relação a esta distância. Ou seja, o processo de resolver equações e completar o conjunto para não deixar buracos termina em .[1]

Já no caso de se usar como distância a métrica p-ádica |.|p, o processo não é tão simples. A partir de , obtém-se , o conjunto dos números p-ádicos, como a completação de . Este corpo não é algebricamente fechado, ou seja, existem equações polinomiais que não tem raiz, porém para obter seu fecho algébrico não basta, como no caso real, incluir uma única raiz, é preciso incluir infinitas raízes de polinômios de grau cada vez maior. Pior: este corpo não é completo, ou seja, existem sequências de Cauchy que não convergem.[1]

Aparentemente, o esquema de construção de corpos "obter fecho algébrico" -> "completar as sequências de Cauchy" -> "obter fecho algébrico" -> "completar as sequências de Cauchy" -> ... poderia ter vários passos, ou mesmo um número infinito de passos.[2] Se construirmos este corpo gigantesco e fecharmos seus buracos obtendo um corpo ainda maior, , será que precisamos aumentar ainda mais, para poder resolver equações polinomiais em ? E depois disso, será preciso continuar o processo, com abstrações cada vez mais distantes da realidade?[1]

Felizmente,[1] por causa do teorema de Krasner,[2] este processo termina aqui: o corpo obtido pela completação do fecho algébrico dos números p-ádicos é algebricamente fechado: este é o comjunto dos números complexos p-ádicos .[1][2]

Notas e referências

Notas

  1. No texto de Koblitz, faltou dizer que a não pode ser zero.

Referências

  1. a b c d e f Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, 3. Review of building up the complex, p.8-10 [https://web.archive.org/web/20130615135819/http://www.plouffe.fr/simon/math/p-adic%20numbers,%20p-adic%20analysis,%20and%20zeta-functions%202nd%20ed.%20-%20N.%20Koblitz.pdf Arquivado em 15 de junho de 2013, no Wayback Machine. [ligação inativa]]
  2. a b c Vladimir Anashin e Andrei Yurevich Khrennikov, Applied Algebraic Dynamics, 1.8.3 Complex p-adic numbers, p.33 [google books]