Pirâmide

forma geométrica
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 Nota: Se procura a estrutura piramidal, veja Pirâmide (arquitetura). Se procura outros significados, veja Pirâmide (desambiguação).

Uma pirâmide é um sólido geométrico formado pela reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo e outra num polígono dado sobre um plano fixo que não contém .[1] Como exemplos das pirâmides da geometria espacial temos as pirâmides do Egito,[2] uma das sete maravilhas do mundo antigo.

Estrutura básica de uma pirâmide.

Definição

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Ilustração da definição de pirâmide.

Uma pirâmide é a reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo   (vértice) e outra sobre um polígono (base) pertencente a um plano que não contém  .[1][2] Equivalentemente, é um poliedro com uma face poligonal (base) e demais faces triangulares (faces laterais), as quais tem exatamente um ponto em comum (vértice).[3]

Em alguns textos, o termo pirâmide é usado de forma mais abrangente, significando a reunião de todas as semirretas que tem origem em um ponto fixo   e que passam por uma região poligonal que não contém  . Isto é, também, conhecido como pirâmide ilimitada. Quando a região poligonal é convexa, também usamos os termos ângulo poliédrico ou ângulo sólido.[1]

 
Tetraedro.
 
Pirâmide quadrangular.

Classificação

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Uma pirâmide é dita ser convexa quando sua base é um polígono convexo.[1] É dita ser reta quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano que contém sua base é o centro da base. Adicionalmente, uma pirâmide é dita ser regular quando é reta e o polígono da base é regular. Uma pirâmide que não é reta é dita ser oblíqua.[3]

Pirâmides também são classificadas quanto a sua natureza.[1] Uma pirâmide de base triangular é chamada de pirâmide triangular (ou tetraedro). Caso a base seja um quadrilátero, a pirâmide é dita ser quadrangular. Analogamente, definimos as pirâmides pentagonal, hexagonal, etc.[2]

Elementos

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Ilustração de alguns elementos de uma pirâmide. Altura  , apótema da base   e apótema lateral  .

Os seguintes elementos são comumente identificados em uma pirâmide:[1][2]

  • base - região poligonal que contém as extremidades opostas de todos os segmentos de reta que partem do vértice e pertencem a pirâmide.
  • face lateral - qualquer triângulo de vértices   e dois vértices consecutivos da base.
  • aresta lateral - qualquer segmento de reta com uma extremidade em   e outro em um vértice da base.
  • aresta da base - qualquer lado do polígono da base.
  • diedros - reunião de duas faces laterais consecutivas.
  • vértices -   ou qualquer vértice da base.
  • triedros - reunião de duas faces laterais consecutivas com a base.

Altura e Apótema

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A altura de uma pirâmide é a distância   entre o vértice e o plano da base. Se a pirâmide for reta, então   é igual à distância do centro da base ao vértice da pirâmide.[1][2]

No caso de uma pirâmide regular, chama-se de apótema lateral a altura de qualquer de uma de suas faces laterais. Apótema da base é a apótema do polígono regular que forma a base da pirâmide.[1]

Área da superfície

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A superfície (ou superfície total) de uma pirâmide é a união de todas as suas faces. A união somente das faces laterais é chamada de superfície lateral. Desta forma, a área da superfície lateral é a soma das áreas dos triângulos que a formam. A área da superfície total é a área da superfície lateral somada a área da base da pirâmide.[1]

No caso de uma pirâmide regular, podemos verificar diretamente que a área da superfície lateral é dada por:

 

onde,   é o número de arestas do polígono da base,   é o comprimento de uma aresta da base e   é o comprimento da apótema lateral da pirâmide. Segue que a área da superfície total da pirâmide é dada por:

 ,

onde,   é a área de sua base.

Volume

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Volume de um tetraedro

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Tetraedro e o prisma associado.

O volume de um tetraedro é dado por:

 

onde,   é a área de sua base e   é sua altura.

Com efeito, todo tetraedro pode ser unido a dois tetraedros congruentes formando um prisma de área da base   e altura  . Ou seja, o volume do tetraedro é um terço do volume do prisma formado.[1][4]

Volume de uma pirâmide

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O volume de uma pirâmide qualquer é dado por:[3][5][4]

 

onde,   é a área de sua base e   é sua altura. De fato, toda pirâmide pode ser particionada em um conjunto finito de tetraedros de vértice igual ao da pirâmide e cujas bases pertencem à base da mesma.

Ver também

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Referências

  1. a b c d e f g h i j Dolce, Osvaldo Pompeo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 10 7 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535717587 
  2. a b c d e JULIANI, Kleber Sebastião. Geometria Espacial:uma visão do espaço para a vida. 2008. Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2008.
  3. a b c Weisstein, Eric W. «Pyramid -- from MathWorld -- A Wolfram Web Resource». Consultado em 7 de novembro de 2014 
  4. a b Lima, Elon Lages (2006). A matemática do ensino médio - volume 2 6 ed. [S.l.]: SBM. ISBN 8585818115 
  5. MACHADO, Paulo Antônio Fonseca. Fundamentos de Geometria Espacial. Universidade Federal de Minas Gerais, 2013.

Ligações externas

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Commons
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