Sólido de Arquimedes

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Os sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice.[1] Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos e são todos obtidos por operações sobre os sólidos platónicos.

Onze são obtidos truncando sólidos platónicos:

O tetraedro truncado, o cuboctaedro, o cubo truncado, o octaedro truncado, o rombicuboctaedro, o cuboctaedro truncado, o icosidodecaedro, o dodecaedro truncado, o icosaedro truncado, o rombicosidodecaedro e o icosidodecaedro truncado.

Dois que são obtidos por snubificação de sólidos platónicos:

O cubo snub e o icosidodecaedro snub. Estes dois sólidos têm caso isomórfico, quer dizer uma figura de espelho correspondente.

Tabela

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Sólidos de Arquimedes
Tetraedro truncado
Dual: tetraedro triakis
  8 faces
4 triángulos
4 hexágonos
12 vértices
18 arestas
Cuboctaedro
Dual: dodecaedro rómbico
  14 faces
8 triângulos
6 quadrados
12 vértices
24 arestas
Cubo truncado
Dual: octaedro triakis
  14 faces
8 triângulos
6 octogonos
24 vértices
36 arestas
Octaedro truncado
Dual: hexaedro tetrakis
  14 faces
6 quadrados
8 hexágonos
24 vértices
36 arestas
Rombicuboctaedro
ou pequeno rombicuboctaedro

Dual: icositetraedro deltoidal
  26 faces
8 triângulos
18 quadrados
24 vértices
48 arestas
Cuboctaedro truncado
ou grande rombicuboctaedro

Dual: dodecaedro disdiakis
  26 faces
12 quadrados
8 hexágonos
6 octógonos
48 vértices
72 arestas
Icosidodecaedro
Dual: triacontaedro rómbico
  32 faces
20 triângulos
12 pentágonos
30 vértices
60 arestas
Dodecaedro truncado
Dual: icosaedro triakis
  32 faces
20 triângulos
12 decágonos
60 vértices
90 arestas
Icosaedro truncado
ou bola de futebol

Dual: dodecaedro pentakis
  32 faces
12 pentágonos
20 hexágonos
60 vértices
90 arestas
Rombicosidodecaedro
ou pequeno rombicosidodecaedro

Dual: hexecontaedro deltoidal
  62 faces
20 triângulos
30 quadrados
12 pentágonos
60 vértices
120 arestas
Icosidodecaedro truncado
ou grande rombicosidodecaedro

Dual: triacontaedro disdiakis
  62 faces
30 quadrados
20 hexágonos
12 decágonos
120 vértices
180 arestas
Cubo snub
ou Cuboctaedro Snub

Este poliedro tem um caso isomórfico
Dual: Icositetraedro pentagonal
   38 faces
32 triângulos
6 quadrados
24 vértices
60 arestas
Icosidodecaedro snub
ou dodecaedro snub

Este poliedro tem um caso isomórfico
Dual: hexecontaedro pentagonal
   92 faces
80 triângulos
12 pentágonos
60 vértices
150 arestas

Origem do nome

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Os sólidos de Arquimedes, têm o nome de Arquimedes, que os descobriu e relatou em livros que se perderam.

Durante a Renascença, artistas e matemáticos descobriram de novo todos os sólidos de Arquimedes. As descobertas ficaram completas à volta de 1619, por Johannes Kepler, que definiu prismas, antiprismas e poliedros não convexos conhecidos como poliedros de Kepler-Poinsot.

Os duais dos sólidos de Arquimedes são chamados sólidos de Catalan.

Foram descritos pela primeira vez pelo matemático belga Eugène Catalan em 1865.

Os sólidos de Catalan são 13: o tetraedro triakis; o dodecaedro rômbico; o octaedro triakis; o hexaedro tetrakis; o icositetraedro deltoidal; o dodecaedro disdiakis; o icositetraedro pentagonal; o triacontaedro rômbico; o icosaedro triakis; o dodecaedro pentakis; o hexecontaedro deltoidal; o triacontaedro disdiakis e o hexecontaedro pentagonal.

Referências

  1. Poliedros. Sólidos e Planificações. Silvia Batista e Gilmara Barcelos.