Rombicosidodecaedro

Em geometria, o rombicosidodecaedro, ou pequenas rombicosidodecaedro, é um sólido de Arquimedes, um dos treze sólidos convexos isogonais não prismáticos construídos a partir de faces de dois ou mais tipos de polígonos regulares.

Rombicosidodecaedro.jpg
Rhombicosidodecahedron

Tem 62 faces, das quais 20 são triângulos regulares, 30 são quadrados, e 12 são pentágonos regulares, 60 vértices e 120 arestas.

O nome rombicosidodecaedro refere-se ao fato de que as 30 faces quadradas ficam no mesmo plano, como as 30 faces do triacontaedro rômbico que é dual para o icosidodecaedro.

Ele também pode ser chamado de um expandido dodecaedro ou icosaedro, a partir de operações de truncamento no poliedro uniforme.

Relações geométricas

editar

Se você expandir um icosaedro movendo sua face para longe da origem, na quantidade certa, sem alterar a orientação ou tamanho das faces, e fazer o mesmo com o seu dodecaedro dual e o trecho dos buracos do quadrados no resultado, você obtém um rombicosidodecaedro. Portanto, ele tem o mesmo número de triângulos como um icosaedro e o mesmo número de pentágonos como um dodecaedro, com um quadrado para cada aresta de qualquer outro.

O rombicosidodecaedro ações vértice de um acordo com o pequeno estrelado dodecaedro truncado, e com o uniforme de compostos de seis ou doze pentagrammic prismas.

O Zometool kits para fazer cúpulas geodésicas e outros poliedros uso de fenda bolas como conectores. As bolas são "expandido" rhombicosidodecahedra, com as praças substituído por retângulos. A expansão é escolhido de modo que a resultante retângulos são retângulos áureos.

Coordenadas cartesianas

editar

As coordenadas cartesianas para os vértices de um rombicosidodecaedro com o comprimento da aresta 2 centrada na origem, são todas permutações de:[1]

(±1, ±1, ±φ3),
φ2, ±φ, ±2φ),
(±(2+φ), 0, ±φ2),

onde φ = 1 + 52 é a razão de ouro.

Projeções ortogonais

editar

O rombicosidodecaedro tem cinco especial projeções ortogonais, centralizado, em um vértice, em dois tipos de bordas, e três tipos de faces: triângulos, quadrados e pentágonos. Os dois últimos correspondem a A2 e H2 nos planos Coxeter.

Projeções ortogonais
Centrado por Vértice Aresta

3-4

Aresta

5-4

Face

Quadrada

Face

Triângular

Face

Pentagonal

Imagem            
Projeção

de simetria

[2] [2] [2] [2] [6] [10]
Imagem

Dual

           

Ladrilhos esféricos

editar

O rombicosidodecaedro também pode ser representado como ladrilhos esféricos, e projetados para o plano através de uma projeção estereográfica. Esta projeção é conformal, preservanvando os ângulos, mas não áreas ou comprimentos. Linhas retas sobre a esfera são projetados como arcos circulares no plano.

   

Pentágono-centrado

 

Triângulo-centrado

 

Quadrado-centrado

Projeção ortográfica Estereográfica projeções

Poliedros relacionados

editar
 
A expansão de um dodecaedro ou um icosaedro cria um rombicosidodecaedro.

Mutações simétricas

editar

Este poliedro é topologicamente relacionado como parte de uma sequência de poliedros cantilados com vértice na figura 3.4.n.4), que continua como estrutura do plano hiperbólico. Esta figura de vértice-transitivo (*n32) tem simetria reflexiva.

Sólidos de Johnson

editar

Existem 13 Sólidos de Johnson relacionados, 5 por diminuição, e 8 incluindo rotações:

Diminuição
J5

 

76

 

80

 

81

 

83

 

Rotação
72

 

73

 

74

 

75

 

77

 

78

 

79

 

82

 

Arranjo do vértice

editar

O rombicosidodecaedro compartilha seu arranjo de vértice com três poliedros uniformes não convexos: o pequeno dodecaedro estrelado truncado, o pequeno dodecicododecaedro (tendo a forma triangular e faces pentagonais em comum), e o pequeno rombidodecaedro (com faces quadradas em comum).

Ele também compartilha seu arranjo de vértice com o poliedro uniforme e compostos de seis ou doze prismas pentagramas.

 

Rombicosidodecaedro

 

Pequeno dodecicosidodecahedron

 

Pequeno rombidodecaedro

 

Pequeno estrelado dodecaedro truncado

 

Composto de seis prismas pentagramas

 

Composto de doze prismas pentagramas

Gráfico do rombicosidodecaedro

editar

Em matemática no campo da teoria dos grafos, um gráfico do rombicosidodecaedro é o gráfico de vértices e arestas do rombicosidodecaedro, um dos sólidos de Arquimedes. Ele tem 60 vértices e 120 bordas, e é um gráfico quártico dos gráficos de Arquimedes.[2]

Diagramas Schlegel
 
 

Veja também

editar
  1. Weisstein, Eric W. «Icosahedral group». MathWorld (em inglês) 
  2. Read, R. C.; Wilson, R. J. (1998), An Atlas of Graphs, Oxford University Press, p. 269 

Referências

editar
  • Cromwell, P. Polyhedra. [S.l.: s.n.] ISBN 0-521-55432-2 
  • A Teoria do Big Bang Série 8 Episódio 2 - O Junior Professor Solução: características deste sólido como uma resposta a um improviso ciência quiz quatro principais personagens têm em Leonard e Sheldon apartamento, e é também ilustrado na Chuck Lorre's a Vaidade de Cartão #461 no final do episódio.

Ligações externas

editar