Polo (análise complexa)

O valor absoluto da função gama. A imagem mostra que a função torna-se infinita nos pólos (à esquerda). À direita, a função gamma não possui polos: ela apenas cresce rapidamente.

Em análise complexa, um polo de um função holomorfa é um certo tipo de singularidade que se comporta como um singularidade do tipo no ponto .

Em particular, em um polo a de uma função f, f(z) aproxima uniformemente para o infinito assim como z aproxima-se de a.

DefiniçãoEditar

Formalmente, suponha que   é um subconjunto aberto do plano complexo  ,   é um elemento de   e   é uma função holomorfa. Se existir uma função holomorfa   e um inteiro não negativo   tal que

 

para todo   em  , então a é denominada um polo de f. O menor número n satisfazendo a condição acima é chamada ordem do polo. Um polo de ordem 1 é chamado polo simples. Um polo de ordem 0 é uma singularidade removível.

Da definição acima, várias caracterizações equivalentem podem ser deduzidas:

Como g é uma função analítica, f pode ser expressa como:

 

Esta é uma série de Laurent com uma parte principal finita. A função holomórfica   (em  ) é chamada a parte regular de  . Então, o ponto a é um polo de ordem n de   se e somente se todos os termos da expansão da série de Laurent de   em torno de a de abaixo do grau −n desaparecem e o termo de grau −n não é nulo.

Ligações externasEditar