Princípio da reflexão

Na teoria das probabilidades e nos processos estocásticos, o princípio da reflexão para um processo de Wiener afirma que, se o caminho de um processo de Wiener $f(t)$ atingir um valor $f(s)=a$ em um tempo $t=s$, então o caminho subsequente depois do tempo $s$ tem a mesma distribuição da reflexão do caminho subsequente sobre o valor $a$. Mais formalmente, o princípio da reflexão se refere a um lema que diz respeito à distribuição do supremo do processo de Wiener, também chamado de movimento browniano. O resultado relaciona a distribuição do supremo do movimento browniano até o tempo $t$ com a distribuição do processo no tempo $t$. É um corolário da propriedade forte de Markov do movimento browniano.

O gráfico mostra uma simulação de um processo de Wiener (+/-1 passo unitário) e seu reflexo em um ponto de cruzamento. Usado para ilustrar o princípio da Reflexão na teoria das probabilidades.

Afirmação

Se $(W(t):t\geq 0)$ for um processo de Wiener a $a>0$ for um limiar (também chamado de ponto de cruzamento), então o lema afirma:

$\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)=2\mathbb {P} (W(t)\geq a).$

De forma mais forte, o princípio da reflexão afirma que, se $\tau$ for um tempo de parada, então a reflexão do processo de Wiener que começa em $\tau$, denotada $(W^{\tau }(t):t\geq 0)$, é também um processo de Wiener, em que:

$W^{\tau }(t)=W(t)\chi _{\left\{t\leq \tau \right\}}+(2W(\tau )-W(t))\chi _{\left\{t>\tau \right\}}$

e a função indicadora $\chi _{\{t\leq \tau \}}={\begin{cases}1,&{\text{se }}t\leq \tau \\0,&{\text{de outro modo }}\end{cases}}$ e $\chi _{\{t>\tau \}}$ são definidos de forma semelhante. A forma mais forte implica o lema original ao escolher $\tau =\inf \left\{t\geq 0:W(t)=a\right\}$.

Prova

O tempo de parada mais precoce para atingir o ponto de cruzamento $a$, $\tau _{a}:=\inf \left\{t:W(t)=a\right\}$, é um tempo de parada limitado quase certamente. Então, podemos aplicar a propriedade forte de Markov para deduzir que um caminho relativo subsequente a $\tau _{a}$, dado por $X_{t}:=W(t+\tau _{a})-a$, é também um movimento browniano simples independente de ${\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}$. Então, a distribuição de probabilidade para o último tempo $W(s)$ está no limiar $a$ ou acima dele no intervalo de tempo $[0,t]$ e pode ser decomposta como:

${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)<a\right)\\&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)\\\end{aligned}}.$

Pela propriedade de torre para expectativas condicionais, o segundo termo se reduz a:

${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)&=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&=\mathbb {E} \left[\chi _{\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a}\mathbb {P} \left(X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right),\end{aligned}}$

já que $X(t)$ é um movimento browniano padrão independente de ${\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}$ e tem probabilidade $1/2$ de ser menor que $0$. A prova do lema é completada ao substituir isto na segunda linha da primeira equação:

${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+{\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\\\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=2\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)\end{aligned}}.$

Consequências

O princípio da reflexão é frequentemente usado para simplificar propriedades distributivas do movimento browniano. Considerando o movimento browniano no intervalo restrito $(W(t):t\in [0,1])$, então o princípio da reflexão nos permite provar que a locação dos máximos $t_{\text{max}}$, que satisfazem $W(t_{\text{max}})=\sup _{0\leq s\leq 1}W(s)$, tem a distribuição arco-seno. Esta é uma das leis arco-seno de Lévy.