Processo de Bessel

Em matemática, um processo de Bessel, que recebe este nome em homenagem a Friedrich Wilhelm Bessel, é um tipo de processo estocástico.

Definição formal

Três representações de processos de Bessel

O processo de Bessel de um ordem $n$ é o processo de valores reais $X$ dado por

$X_{t}=\|W_{t}\|,$

em que $\lVert \cdot \rVert$ denota a norma euclidiana em $R^{n}$ e $W$ é um processo de Wiener (movimento browniano) de $n$ dimensões a partir da origem.

Este processo de Bessel de $n$ dimensões é a solução para a equação diferencial estocástica

$dX_{t}=dZ_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {dt}{X_{t}}}$

Em que $Z$ é um processo de Wiener (movimento browniano) de dimensão $1$. Note que esta equação diferencial estocástica faz sentido para qualquer parâmetro real $n$ (ainda que o termo de deriva seja singular em $0$). Assumindo-se que $W$ começou a partir da origem, a condição inicial é $X_{0}=0$.

Notação

Uma notação para o processo de Bessel de dimensão $n$ iniciado em $0$ é $BES_{0}(n)$.

Dimensões específicas

Para $n\geq 2$, o processo de Wiener de $n$ dimensões é transitório a partir de seu ponto de origem: com probabilidade $1$, $X_{t}>0$ para todo $t>0$. É, entretanto, recorrente na vizinhança para $n=2$, o que significa que, com probabilidade $1$, para qualquer $r>0$, há $t$ arbitrariamente grandes com $X_{t}<r$. Por outro lado, é verdadeiramente transitório para $n>2$, o que significa que $X_{t}\geq r$ para todo $t$ suficientemente grande.

Para $n\leq 0$, o processo de Bessel é geralmente iniciado em pontos diferentes de $0$, já que a deriva a $0$ é tão forte que o processo fica preso a $0$ assim que atinge $0$.

Relação com movimento browniano

Processos de Bessel de dimensões $0$ e $2$ são relacionados a tempos locais do movimento browniano via teoremas de Ray-Knight.

A lei de um movimento browniano perto dos extremos de $X$ é a lei de um processo de Bessel tridimensional (Fórmula de Tanaka).