Fórmula de Tanaka

Em cálculo estocástico, a fórmula de Tanaka, que recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Hiroshi Tanaka, afirma que:

$|B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})dB_{s}+L_{t}$,

em $B_{t}$ é o movimento browniano padrão, $\operatorname {sgn}$ denota a função sinal

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x>0;\\0,&x=0\\-1,&x<0.\end{cases}}$,

e $L_{t}$ é seu tempo local em 0 (o tempo local gasto por $B$ em 0 antes do tempo $t$) dado pelo limite L²

$L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|$.

Propriedades

A fórmula de Tanaka é a decomposição de Doob–Meyer explícita do submartingale $|B_{t}|$ na parte martingale (a integral do lado da mão direita) e em um processo contínuo crescente (tempo local). Também pode ser vista como o análogo do lema de Itō para a função modular (não suave) $f(x)=|x|$, com $f'(x)=\operatorname {sgn}(x)$ e $f''(x)=2\delta (x)$.

Descrição da prova

A função $|x|$ não é C² em $x$ com $x=0$, de modo que não podemos aplicar a fórmula de Itō diretamente. Mas, se a aproximarmos a quase zero (isto é, em $[-\varepsilon ,\varepsilon ]$) por parábolas,

${\frac {x^{2}}{2|\varepsilon |}}+{\frac {|\varepsilon |}{2}}$,

e, usando a fórmula de Itō, podemos então assumir o limite como $\varepsilon \rightarrow 0$, o que leva à fórmula de Tanaka.