Produto fibrado

O produto fibrado (ou pullback) é uma construção de teoria das categorias.

Diagrama de produto fibrado

DefiniçãoEditar

Dadas duas setas   e  , de uma categoria C qualquer, com destino comum  , o produto fibrado de   é um objeto   e duas setas   e   tal que:

  1.  , onde  ;
  2. Para qualquer outra tripla   tal que  , existe uma única seta   tal que   e  .

Neste caso, diz-se que

 
é quadrado de produto fibrado.

O conceito dual do produto fibrado é a soma amalgamada.

Como o produto fibrado é caso particular do limite em teoria das categorias, produtos fibrados (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.[1]

ExemploEditar

Na categoria dos conjuntos o produto fibrado de   e   é o conjunto  , com as restrições das projeções   e   a  .

PropriedadeEditar

Pullbacks podem ser concatenados. Mais precisamente, dado diagrama comutativo numa categoria qualquer

 
se os quadrados ABCD e CDEF são diagramas de produto fibrado, então o retângulo exterior ABEF também é. Ainda mais, se o retângulo exterior ABEF e o quadrado direito CDEF são diagramas de produto fibrado, então o quadrado esquerdo ABCD também é.[2]

Produto fibrado de família de morfismosEditar

Há também o conceito de produto fibrado para mais de dois morfismos. Seja família   de morfismos na categoria  . Um produto fibrado (ou pullback) dessa família é um objeto  , junto a outra família de morfismos   e um morfismo  , tal que:

  •   para qualquer índice  ;
  • para qualquer família   de morfismos e morfismo   tais que   para qualquer índice  , há único morfismo   tal que   e   para cada  .[3]

O morfismo   (que só foi explicitado acima para o caso  ) também é chamado de pullback.

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

Referências

  1. (Mac Lane 1998, §III.4)
  2. (Mac Lane 1998, Exercício III.4.8)
  3. (Adámek, Herrlich, Strecker, Exercício III.11L)

BibliografiaEditar

  • ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.] 
  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
  • Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.


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