Produto fibrado

O produto fibrado (ou pullback) é uma construção de teoria das categorias.

Diagrama de produto fibrado

Definição

Dadas duas setas $f:b\rightarrow a$ e $g:c\rightarrow a$, de uma categoria C qualquer, com destino comum $a$, o produto fibrado de $(f,g)$ é um objeto $b\times _{a}c$ e duas setas $p:b\times _{a}c\rightarrow b$ e $q:b\times _{a}c\rightarrow c$ tal que:

1. $f\circ p=g\circ q$, onde $f\circ p,g\circ q:b\times _{a}c\rightarrow a$;
2. Para qualquer outra tripla $(d,h:d\rightarrow b,k:d\rightarrow c)$ tal que $g\circ k=f\circ h$, existe uma única seta $\langle h,k\rangle _{a}:d\rightarrow b\times _{a}c$ tal que $p\circ \langle h,k\rangle _{a}=h$ e $q\circ \langle h,k\rangle _{a}=k$.

Neste caso, diz-se que

$${\begin{matrix}b\times _{a}c&{\overset {q}{\to }}&c\\\downarrow p&&\downarrow g\\b&{\overset {f}{\to }}&a\end{matrix}}$$

é quadrado de produto fibrado.

O conceito dual do produto fibrado é a soma amalgamada.

Como o produto fibrado é caso particular do limite em teoria das categorias, produtos fibrados (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.

Exemplo

Na categoria dos conjuntos o produto fibrado de $f$ e $g$ é o conjunto $X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}$, com as restrições das projeções $p_{1}$ e $p_{2}$ a $X\times _{Z}Y$.

Propriedade

Pullbacks podem ser concatenados. Mais precisamente, dado diagrama comutativo numa categoria qualquer

$${\begin{matrix}A&\to &C&\to &E\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\B&\to &D&\to &F\end{matrix}}$$

se os quadrados ABCD e CDEF são diagramas de produto fibrado, então o retângulo exterior ABEF também é. Ainda mais, se o retângulo exterior ABEF e o quadrado direito CDEF são diagramas de produto fibrado, então o quadrado esquerdo ABCD também é.

Produto fibrado de família de morfismos

Há também o conceito de produto fibrado para mais de dois morfismos. Seja família $\{g_{i}:a_{i}\to b\}_{i\in I}$ de morfismos na categoria $C$. Um produto fibrado (ou pullback) dessa família é um objeto $a\in C$, junto a outra família de morfismos $\{f_{i}:a\to a_{i}\}_{i\in I}$ e um morfismo $f:a\to b$, tal que:

• $g_{i}\circ f_{i}=f$ para qualquer índice $i\in I$;
• para qualquer família $\{f'_{i}:a'\to a_{i}\}_{i\in I}$ de morfismos e morfismo $f':a'\to b$ tais que $g_{i}\circ f'_{i}=f'$ para qualquer índice $i\in I$, há único morfismo $h:a'\to a$ tal que $f'=f\circ h$ e $f'_{i}=f_{i}\circ h$ para cada $i\in I$.

O morfismo $f:a\to b$ (que só foi explicitado acima para o caso $I=\emptyset$) também é chamado de pullback.

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• «Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani» (PDF) 

Bibliografia

• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.] 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.