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Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.

Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.[1] A razão é indicada geralmente pela letra (inicial da palavra "quociente").

Alguns exemplos de progressão geométrica:

  • em que e ;[1]
  • em que e ;
  • em que e ;
  • em que e ;
  • em que e ;
termo geral ==

Costuma-se denotar por o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

É fácil demonstrar por indução matemática que

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

Soma dos termos de uma P.G.Editar

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

 

Caso   a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:

 

DemonstraçãoEditar

Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

 

Multiplica-se pela razão  

 

Subtrai-se a segunda da primeira (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:

 

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a

 

Divide-se ambos os termos por   e o resultado segue.

Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.Editar

A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de   até   é calculada pela seguinte fórmula:

 

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométricaEditar

 Ver artigo principal: série geométrica

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando   Sua soma é:

 

Se   e   então sua soma é mais infinito e se   e   sua soma é menos infinito.

 

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso   por exemplo.   pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma progressão geométricaEditar

O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por

 

e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:

 

sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.

Tipos de progressões geométricasEditar

Progressão geométrica constanteEditar

Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão   deve ser igual a 1.

Exemplos de progressões geométricas constantes :

  •   tem razão   e primeiro termo  
  •   tem razão   e primeiro termo  

Progressão geométrica crescenteEditar

Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão   é superior a 1 e seu primeiro termo   é superior a 0 ou quando sua razão   está entre 0 e 1 e seu primeiro termo   é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem:   e   ou   e  .

Exemplos de progressões geométricas crescentes:

  •   tem razão   e primeiro termo  .
  •   tem razão   e primeiro termo  .

Progressão geométrica decrescenteEditar

Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão   é superior a 1 e seu primeiro termo   é inferior a 0 ou quando sua razão   está entre 0 e 1 e seu primeiro termo   é superior a 0. Obedecendo assim a ordem:   e   ou   e  .

Exemplos de progressões geométricas decrescentes:

  •   tem razão   e primeiro termo  .
  •   tem razão   e primeiro termo  .

Progressão geométrica oscilanteEditar

Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão   é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem:  .

Exemplos de progressões geométricas oscilantes:

  •   tem razão   e primeiro termo  .
  •   tem razão   e primeiro termo  .

Exemplo de progressão geométricaEditar

Abaixo temos uma tabela na qual o termo   e o termo  , e assim sucessivamente em progressão geométrica.

  onde  
   
1 2
2 6
3 18
4 54
5 162
6 486
7 1.458
8 4.374
9 13.122
10 39.366
11 118.098
12 354.294
13 1.062.882
14 3.188.646
15 9.565.938
16 28.697.814
17 86.093.442
18 258.280.326
19 774.840.978
20 2.324.522.934
  • Qual é o 8º termo da PG acima?
 

Enésimo termo de uma PGEditar

É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:

Inicialmente é necessário obter-se o quociente( ).

 

Após obtido o quociente( ) o enésimo( ) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo  , ou seja,  .

 

Exemplo ilustrativo

Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo( ) igual a 1.250 e o 8º termo( ) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo( )?

 
Agora usando o quociente ( ) na fórmula do enésimo termo ( ).
 
O 2º termo da PG dada é igual a 10.

Ver tambémEditar

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
  Livros e manuais no Wikilivros

Referências