Redutível à homogênea

Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem não se enquadram em nenhum dos métodos clássicos de solução. No entanto, as vezes é possível reescrever essas equações de modo a viabilizar o uso de um método clássico de solução. Este é o caso das equações redutíveis à homogênea. Essa classe de equações tem o lado direito dado por uma função que depende de uma expressão do tipo ${\frac {a_{1}t+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}t+b_{2}y+c_{2}}},\ \ a_{i},\ b_{i},\ c_{i}\in \mathbb {R} ,\ i=1,\ 2$. Independente das constantes $a_{i},\ b_{i},\ c_{i}\in \mathbb {R} ,\ i=1,\ 2,$ existem substituições que permitem reescrever a equação como uma equação homogênea de primeira ordem. Por esse motivo, essa classe é chamada de redutíveis à homogênea

Definição

Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem

$y'=f(t,y).$

Se $f(t,y)$ é da forma $f(t,y)=\phi \left({\frac {a_{1}t+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}t+b_{2}y+c_{2}}}\right)$, em que $a_{i},\ b_{i},\ c_{i}\in \mathbb {R} ,\ i=1,\ 2$, dizemos que a equação é redutível à homogênea.

Exemplos

1. $y'={\frac {t+y-2}{t-1}}.$
2. $y'={\frac {2t-6y-1}{t-3y-4}}.$

Resolvendo uma equação redutível a homogênea

Há dois casos a considerar:

• Se $a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\neq 0.$

Observe que neste caso o sistema linear $\left\{{\begin{array}{l}a_{1}t+b_{1}y+c_{1}=0\\a_{2}t+b_{2}y+c_{2}=0\end{array}}\right.$ tem única solução $t_{0},\ y_{0}.$

Neste caso definimos $u=t-t_{0}$ e $v=y-y_{0}$. Logo, $du=dt$ e $dv=dy$.

Com base nisso,

$a_{1}t+b_{1}y+c_{1}=a_{1}(u+t_{0})+b_{1}(v+y_{0})+c_{1}=a_{1}u+b_{1}v+a_{1}t_{0}+b_{1}y_{0}+c_{1}=a_{1}u+b_{1}v$

e

$a_{2}t+b_{2}y+c_{2}=a_{2}(u+t_{0})+b_{2}(v+y_{0})+c_{2}=a_{2}u+b_{2}v+a_{2}t_{0}+b_{2}y_{0}+c_{2}=a_{2}u+b_{2}v,$

pois $t_{0},\ y_{0}$ é solução do sistema linear.

Dessa forma, a equação diferencial fica

$y'=\phi \left({\frac {a_{1}u+b_{1}v}{a_{2}u+b_{2}v}}\right)=\phi \left({\frac {a_{1}+b_{1}{\frac {v}{u}}}{a_{2}+b_{2}{\frac {v}{u}}}}\right)=\psi \left({\frac {v}{u}}\right)$

que é uma equação homogênea em relação as variáveis $u$ e $v$.

A solução da equação é obtida usando o método para equações homogêneas de primeira ordem.

• Se $a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}=0.$

Segue que ${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}=\kappa$. Portanto, $a_{1}=a_{2}\kappa$ e $b_{1}=b_{2}\kappa$.

Com isso, a equação diferencial inicial fica

$y'=\phi \left({\frac {\kappa (a_{2}t+b_{2}y)+c_{1}}{a_{2}t+b_{2}y+c_{2}}}\right).$

Façamos agora a mudança de variável $z=a_{2}t+b_{2}y$. Daí, $dz=a_{2}dt+b_{2}dy$ ou ${\frac {dz}{dt}}=a_{2}+b_{2}{\frac {dy}{dt}}.$ De onde segue que

${\frac {dy}{dt}}=\left({\frac {dz}{dt}}-a_{2}\right){\frac {1}{b_{2}}}.$

Substituíndo na equação inicial

${\frac {z'-a_{2}}{b_{2}}}=\phi \left({\frac {\kappa z+c_{1}}{z+c_{2}}}\right).$

ou

$z'=b_{2}\phi \left({\frac {\kappa z+c_{1}}{z+c_{2}}}\right)+a_{2}.$

Que é uma equação de variável separavel. Logo, obtemos a solução usando o método de separação de variáveis