O nome soma telescópica deriva da função do telescópio , ou seja , assim como este objeto encurta a enorme distancia entre nossos olhos e os corpos celestes , esta propriedade encurta o caminho entre a soma inicial de muitas parcelas e o cálculo do resultado da mesma.
Então o objetivo das somas telescópicas é facilitar o trabalho, de modo que não seja necessário desenvolver uma quantidade infinita de termos ou simplificar por muito tempo uma cadeia de adendo
A totalidade dos termos não será expressa, tornando-se necessária apenas para a demonstração do resultado, mas não para o processo normal de cálculo.
O importante é notar a convergência das séries numéricas. Às vezes, o argumento da soma não será expresso telescopicamente. Nesses casos, a implementação de métodos alternativos de fatoração é muito comum. Veja propriedades auxiliares em somatório .
Em matemática , esta soma segue um dos seguintes padrões:
∑
k
=
1
N
(
F
k
−
F
k
+
1
)
=
F
1
−
F
n
+
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(F_{k}-F_{k+1})=F_{1}-F_{n+1}\,}
Ou
∑
k
=
1
N
(
F
k
+
1
−
F
k
)
=
F
n
+
1
−
F
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,}
Ainda, de forma similar:
(
a
2
−
a
1
)
+
(
a
3
−
a
2
)
+
(
a
4
−
a
3
)
+
…
+
(
a
n
−
a
n
−
1
)
{\displaystyle (a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})\,}
Esta soma pode ser simplificada:
(
a
2
−
a
1
)
+
(
a
3
−
a
2
)
+
(
a
4
−
a
3
)
+
…
+
(
a
n
−
a
n
−
1
)
=
a
n
−
a
1
{\displaystyle (a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{1}\,}
Naturalmente qualquer seqüência de termos
b
n
{\displaystyle b_{n}\,}
b
n
=
b
1
+
(
b
2
−
b
1
)
+
(
b
3
−
b
2
)
+
…
+
(
b
n
−
b
n
−
1
)
{\displaystyle b_{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+(b_{3}-b_{2})+\ldots +(b_{n}-b_{n-1})\,}
Desenvolvimento
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Dada uma sequencia
F
n
c
o
m
n
∈
N
{\displaystyle \ F_{n}\mathrm {com} \ n\in \mathbb {N} \,}
Δ
F
k
=
F
k
+
1
−
F
k
{\displaystyle \Delta \ F_{k}=F_{k+1}-F_{k}\ }
Dessa forma:
Δ
F
1
=
F
2
−
F
1
Δ
F
2
=
F
3
−
F
2
Δ
F
3
=
F
4
−
F
3
…
Δ
F
n
−
1
=
F
n
−
F
n
−
1
Δ
F
n
=
F
n
+
1
−
F
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \ F_{1}&{}=F_{2}-F_{1}\\\Delta \ F_{2}&{}=F_{3}-F_{2}\\\Delta \ F_{3}&{}=F_{4}-F_{3}\\&{}\ldots \\\Delta \ F_{n-1}&{}=F_{n}-F_{n-1}\\\Delta \ F_{n}&{}=F_{n+1}-F_{n}\\\end{aligned}}}
Somando todas as equações membro a membro:
Δ
F
1
+
Δ
F
2
+
…
+
Δ
F
n
=
F
2
−
F
1
+
F
3
−
F
2
+
…
+
F
n
−
F
n
−
1
+
F
n
+
1
−
F
n
{\displaystyle \Delta F_{1}+\Delta F_{2}+\ldots +\Delta F_{n}=F_{2}-F_{1}+F_{3}-F_{2}+\ldots +F_{n}-F_{n-1}+F_{n+1}-F_{n}\,}
Efetuando os devidos cancelamentos, temos:
Δ
F
1
+
Δ
F
2
+
…
+
Δ
F
n
=
F
n
+
1
−
F
1
{\displaystyle \Delta F_{1}+\Delta F_{2}+\ldots +\Delta F_{n}=F_{n+1}-F_{1}\,}
Portanto:
∑
k
=
1
N
(
F
k
+
1
−
F
k
)
=
F
n
+
1
−
F
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,}
Demonstração
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Ao desenvolver a soma, a eliminação de fatores é bem obvia.
O primeiro caso será tomado como exemplo, sendo o processo do segundo feito de forma análoga.
Para limite = 3:
∑
k
=
1
3
(
F
k
−
F
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{3}(F_{k}-F_{k+1})\,}
·
X
1
(
F
1
−
F
1
+
1
)
=
F
1
−
F
2
{\displaystyle \ X_{1}(F_{1}-F_{1+1})=F_{1}-F_{2}\,}
·
X
2
(
F
2
−
F
2
+
1
)
=
F
2
−
F
3
{\displaystyle \ X_{2}(F_{2}-F_{2+1})=F_{2}-F_{3}\,}
·
X
3
(
F
3
−
F
3
+
1
)
=
F
3
−
F
4
{\displaystyle \ X_{3}(F_{3}-F_{3+1})=F_{3}-F_{4}\,}
Expressando a soma dos elementos descritos:
∑
k
=
1
3
(
F
k
−
F
k
+
1
)
=
X
1
+
X
2
+
X
3
=
F
1
−
F
2
+
F
2
−
F
3
+
F
3
−
F
4
;
{\displaystyle \sum _{k=1}^{3}(F_{k}-F_{k+1})=X_{1}+X_{2}+X_{3}=F_{1}-F_{2}+F_{2}-F_{3}+F_{3}-F_{4};\,}
Observe que os termos
F
2
{\displaystyle F_{2}\,}
F
3
{\displaystyle F_{3}\,}
F
1
{\displaystyle F_{1}\,}
F
4
{\displaystyle F_{4}\,}
Significa que
F
4
{\displaystyle F_{4}\,}
F
k
+
1
{\displaystyle F_{k+1}\,}
∑
k
=
1
N
(
F
k
−
F
k
+
1
)
=
F
1
−
F
n
+
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(F_{k}-F_{k+1})=F_{1}-F_{n+1}\,}
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
De forma análoga temos como exemplo o segundo caso:
Para limite = 5:
∑
k
=
1
5
(
F
k
+
1
−
F
k
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{5}(F_{k+1}-F_{k})\,}
·
X
1
(
F
1
+
1
−
F
1
)
=
F
2
−
F
1
{\displaystyle \ X_{1}(F_{1+1}-F_{1})=F_{2}-F_{1}\,}
·
X
2
(
F
2
+
1
−
F
2
)
=
F
3
−
F
2
{\displaystyle \ X_{2}(F_{2+1}-F_{2})=F_{3}-F_{2}\,}
·
X
3
(
F
3
+
1
−
F
3
)
=
F
4
−
F
3
{\displaystyle \ X_{3}(F_{3+1}-F_{3})=F_{4}-F_{3}\,}
·
X
4
(
F
4
+
1
−
F
4
)
=
F
5
−
F
4
{\displaystyle \ X_{4}(F_{4+1}-F_{4})=F_{5}-F_{4}\,}
·
X
5
(
F
5
+
1
−
F
5
)
=
F
6
−
F
5
{\displaystyle \ X_{5}(F_{5+1}-F_{5})=F_{6}-F_{5}\,}
Expressando a soma dos elementos descritos:
∑
k
=
1
5
(
F
k
−
F
k
+
1
)
=
X
1
+
X
2
+
X
3
+
X
4
+
X
5
=
F
2
−
F
1
+
F
3
−
F
2
+
F
4
−
F
3
+
F
5
−
F
4
+
F
6
−
F
5
;
{\displaystyle \sum _{k=1}^{5}(F_{k}-F_{k+1})=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}=F_{2}-F_{1}+F_{3}-F_{2}+F_{4}-F_{3}+F_{5}-F_{4}+F_{6}-F_{5};\,}
Observe que os termos
F
2
,
F
3
,
F
4
{\displaystyle F_{2},F_{3},F_{4}\,}
F
5
{\displaystyle F_{5}\,}
F
1
{\displaystyle F_{1}\,}
F
6
{\displaystyle F_{6}\,}
Significa que
F
6
{\displaystyle F_{6}\,}
F
k
+
1
{\displaystyle F_{k+1}\,}
∑
k
=
1
N
(
F
k
+
1
−
F
k
)
=
F
n
+
1
−
F
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,}
1
1
(
2
)
+
1
2
(
3
)
+
1
3
(
4
)
+
…
+
1
999
(
1000
)
{\displaystyle {\frac {1}{1(2)}}+{\frac {1}{2(3)}}+{\frac {1}{3(4)}}+\ldots +{\frac {1}{999(1000)}}\,}
Observe que o denominador segue o padrão:
k
(
k
+
1
)
:
k
∈
N
{\displaystyle k(k+1):k\in \mathbb {N} \,}
1
1
(
2
)
+
1
2
(
3
)
+
1
3
(
4
)
+
…
+
1
999
(
1000
)
=
∑
k
=
1
999
1
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{1(2)}}+{\frac {1}{2(3)}}+{\frac {1}{3(4)}}+\ldots +{\frac {1}{999(1000)}}=\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}\,}
A ideia é usar a propriedade telescopica para facilitar o calculo , assim , buscamos escrever o termo
1
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{k(k+1)}}\,}
diferença de outros dois.
Então,
1
k
(
k
+
1
)
=
k
+
1
−
k
k
(
k
+
1
)
=
k
+
1
k
(
k
+
1
)
−
k
k
(
k
+
1
)
=
1
k
−
1
(
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {k+1-k}{k(k+1)}}={\frac {k+1}{k(k+1)}}-{\frac {k}{k(k+1)}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{(k+1)}}\,}
Assim:
∑
k
=
1
999
1
k
(
k
+
1
)
=
∑
k
=
1
999
(
1
k
−
1
k
+
1
)
=
(
1
−
1
2
)
+
(
1
2
−
1
3
)
+
⋯
+
(
1
k
−
1
k
+
1
)
=
1
+
(
−
1
2
+
1
2
)
+
(
−
1
3
+
1
3
)
+
⋯
+
(
−
1
k
+
1
k
)
−
1
k
+
1
=
1
−
1
k
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}&{}=\sum _{k=1}^{999}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&{}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&{}=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k+1}}\\&{}=1-{\frac {1}{k+1}}\end{aligned}}}
Portanto:
∑
k
=
1
999
1
k
(
k
+
1
)
=
1
−
1
k
+
1
=
1
−
1
999
+
1
=
999
1000
{\displaystyle \sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}=1-{\frac {1}{k+1}}=1-{\frac {1}{999+1}}={\frac {999}{1000}}\,}
Calcule:
∑
n
=
3
10
2
n
−
2
n
+
1
{\displaystyle \sum _{n=3}^{10}2^{n}-2^{n+1}\,}
Desenvolvendo a soma temos:
(
2
3
−
2
4
)
+
(
2
4
−
2
5
)
+
(
2
5
−
2
6
)
+
…
+
(
2
10
−
2
11
)
{\displaystyle (2^{3}-2^{4})+(2^{4}-2^{5})+(2^{5}-2^{6})+\ldots +(2^{10}-2^{11})\,}
Vemos que os termos de
2
4
{\displaystyle 2^{4}\,}
2
10
{\displaystyle 2^{10}\,}
∑
n
=
3
10
2
n
−
2
n
+
1
=
2
3
−
2
11
=
−
2040
{\displaystyle \sum _{n=3}^{10}2^{n}-2^{n+1}=2^{3}-2^{11}=-2040\,}
Usando a propriedade telescópica não é necessário o desenvolvimento , apenas perceber que se trata de uma soma telescópica, chegando ao resultado mais rápido.
Dada a seguinte sequencia recursiva:
a
1
=
1
,
a
n
+
1
=
a
n
1
+
n
a
n
{\displaystyle \ a_{1}=1,a_{n+1}={\frac {a_{n}}{1+na_{n}}}\,}
a
2012
{\displaystyle \ a_{2012}\,}
A princípio, inverte-se a equação que define
a
n
+
1
{\displaystyle \ a_{n+1}\,}
1
a
n
+
1
=
1
+
n
a
n
a
n
⇒
1
a
n
+
1
=
1
a
n
+
n
a
n
a
n
⇒
1
a
n
+
1
=
1
a
n
+
n
{\displaystyle {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1+na_{n}}{a_{n}}}\Rightarrow {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {na_{n}}{a_{n}}}\Rightarrow {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1}{a_{n}}}+n\,}
Fazendo
b
n
=
1
a
n
{\displaystyle b_{n}={\frac {1}{a_{n}}}\,}
b
n
+
1
=
b
n
+
n
{\displaystyle b_{n+1}=b_{n}+n}
Desenvolvendo os termos temos:
b
2
=
b
1
+
1
b
3
=
b
2
+
2
…
b
2011
=
b
2010
+
2010
b
2012
=
b
2011
+
2011
{\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}&{}=b_{1}+1\\b_{3}&{}=b_{2}+2\\&{}\ldots \\b_{2011}&{}=b_{2010}+2010\\b_{2012}&{}=b_{2011}+2011\\\end{aligned}}}
Isolando as variaveis tem-se:
b
2
−
b
1
=
1
b
3
−
b
2
=
2
…
b
2011
−
b
2010
=
2010
b
2012
−
b
2011
=
2011
{\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}-b_{1}&{}=1\\b_{3}-b_{2}&{}=2\\&{}\ldots \\b_{2011}-b_{2010}&{}=2010\\b_{2012}-b_{2011}&{}=2011\\\end{aligned}}}
Somando todas as equações:
b
2
−
b
1
+
b
3
−
b
2
+
…
+
b
2011
−
b
2010
+
b
2012
−
b
2011
=
1
+
2
+
…
+
2010
+
2011
{\displaystyle \ b_{2}-b_{1}+b_{3}-b_{2}+\ldots +b_{2011}-b_{2010}+b_{2012}-b_{2011}=1+2+\ldots +2010+2011\,}
Nota-se que pela propriedade da soma telescópica :
b
2012
−
b
1
=
1
+
2
+
…
+
2010
+
2011
{\displaystyle \ b_{2012}-b_{1}=1+2+\ldots +2010+2011\,}
Por propriedade de Progressão Aritmetica:
b
2012
−
b
1
=
2012
∗
2011
2
{\displaystyle \ b_{2012}-b_{1}={\frac {2012*2011}{2}}\,}
b
1
=
1
a
1
→
b
1
=
1
{\displaystyle b_{1}={\frac {1}{a_{1}}}\rightarrow b_{1}=1\,}
Portanto
b
2012
=
1
+
2012
∗
2011
2
{\displaystyle b_{2012}=1+{\frac {2012*2011}{2}}\,}
Logo,
a
2012
=
1
1
+
1006
∗
2011
{\displaystyle a_{2012}={\frac {1}{1+1006*2011}}}
Somas telescópicas e Progressão aritmética
editar
Veremos que os termos de
∑
i
=
1
n
+
1
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}i\,}
Desenvolvendo os termos:
i
2
=
i
1
+
1
i
3
=
i
2
+
1
…
i
n
=
i
n
−
1
+
1
i
n
+
1
=
i
n
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\ i_{2}&{}=i_{1}+1\\\ i_{3}&{}=i_{2}+1\\&{}\ldots \\\ i_{n}&{}=i_{n-1}+1\\\ i_{n+1}&{}=i_{n}+1\\\end{aligned}}}
Se fizermos a subtração de termos consecutivos afirmamos a sentença do enunciado.
i
2
−
i
1
=
1
i
3
−
i
2
=
1
…
i
n
−
i
n
−
1
=
1
i
n
+
1
−
i
n
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\ i_{2}-i_{1}&{}=1\\\ i_{3}-i_{2}&{}=1\\&{}\ldots \\\ i_{n}-i_{n-1}&{}=1\\\ i_{n+1}-i_{n}&{}=1\\\end{aligned}}}
Somando as equações da segunda sequencia apresentada teremos:
i
2
−
i
1
+
i
3
−
i
2
+
…
+
i
n
−
i
n
−
1
+
i
n
+
1
−
i
n
=
1
+
1
+
…
+
1
+
1
{\displaystyle \ i_{2}-i_{1}+i_{3}-i_{2}+\ldots +i_{n}-i_{n-1}+i_{n+1}-i_{n}=1+1+\ldots +1+1\,}
A partir da propriedade telescopica ,cancelamos os termos que aparecem acompanhados de seus opostos e obtemos:
i
n
+
1
−
i
1
=
1
+
1
+
…
+
1
+
1
{\displaystyle \ i_{n+1}-i_{1}=1+1+\ldots +1+1\,}
i
n
+
1
−
i
1
=
n
∗
1
{\displaystyle \ i_{n+1}-i_{1}=n*1\,}
Como trata-se de uma PA , por este método definimos a formula do termo geral:
i
n
+
1
=
n
∗
1
+
i
1
{\displaystyle \ i_{n+1}=n*1+i_{1}\,}
A soma da PA ,entretanto, segue a seguinte forma:
(
i
1
+
i
n
+
1
)
n
2
{\displaystyle {\frac {(i_{1}+i_{n+1})n}{2}}\,}
Pois se analisarmos que :
∑
i
=
1
n
+
1
i
=
∑
i
=
1
n
i
+
i
n
+
1
i
n
+
1
=
n
∗
1
+
i
n
∑
i
=
1
n
i
=
∑
i
=
1
n
−
1
i
+
i
n
∴
∑
i
=
1
n
+
1
i
=
∑
i
=
1
n
−
1
i
+
i
n
+
n
∗
1
+
i
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n+1}i&{}=\sum _{i=1}^{n}i+i_{n+1}\\\ i_{n+1}&{}=n*1+i_{n}\\\sum _{i=1}^{n}i&{}=\sum _{i=1}^{n-1}i+i_{n}\\\therefore \sum _{i=1}^{n+1}i&{}=\sum _{i=1}^{n-1}i+i_{n}+n*1+i_{n}\\\end{aligned}}}
Fica evidente a duplicidade dos termos na soma, logo , deve-se dividir por 2.
Se
a
n
+
1
=
2
a
n
+
1
2
{\displaystyle \ a_{n+1}={\frac {2a_{n}+1}{2}}\,}
n
>=
1
{\displaystyle \ n>=1\,}
a
1
=
2
{\displaystyle \ a_{1}=2\,}
a
101
{\displaystyle \ a_{101}\,}
a
n
+
1
=
a
n
+
1
2
{\displaystyle \ a_{n+1}=a_{n}+{\frac {1}{2}}\,}
a
n
+
1
−
a
n
=
1
2
=
{\displaystyle \ a_{n+1}-a_{n}={\frac {1}{2}}=\,}
Progressão aritmética de razão
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,}
Desenvolvendo os termos, temos:
a
n
+
1
−
a
n
=
1
2
a
n
−
a
n
−
1
=
1
2
a
n
−
1
−
a
n
−
2
=
1
2
…
a
2
−
a
1
=
1
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\ a_{n+1}-a_{n}&{}={\frac {1}{2}}\\\ a_{n}-a_{n-1}&{}={\frac {1}{2}}\\\ a_{n-1}-a_{n-2}&{}={\frac {1}{2}}\\&{}\ldots \\\ a_{2}-a_{1}&{}={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}}
Somando-se as equações e utilizando a propriedade da soma telescópica:
a
n
+
1
−
a
1
=
n
1
2
{\displaystyle \ a_{n+1}-a_{1}=n{\frac {1}{2}}\,}
Logo, a formula do termo geral será:
a
n
+
1
=
a
1
+
n
1
2
{\displaystyle \ a_{n+1}=a_{1}+n{\frac {1}{2}}\,}
Desta forma,
n
+
1
=
101
;
n
=
100.
a
101
=
a
1
+
n
1
2
a
101
=
2
+
100
1
2
a
101
=
52
{\displaystyle {\begin{aligned}\ n+1=101;n=100.\\\ \\\ a_{101}&{}=a_{1}+n{\frac {1}{2}}\\\ a_{101}&{}=2+100{\frac {1}{2}}\\\ a_{101}&{}=52\\\end{aligned}}}
A série telescópica
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Define-se série telescópica como o limite da soma telescópica:
∑
n
=
1
∞
(
a
n
+
1
−
a
n
)
=
lim
n
→
∞
a
n
+
1
−
a
1
=
lim
n
→
∞
a
n
−
a
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n+1}-a_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}-a_{1}=\lim _{n\to \infty }a_{n}-a_{1}}
A série telescópica converge, portanto, se e somente se existe o limite
lim
n
→
∞
a
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\,}
