Segmento inicial (matemática)

Em matemática, mais precisamente em teoria da ordem, um segmento inicial de um conjunto ordenado (X,≤) é um subconjunto S de X tal que se x pertence à S e se yx, então y pertence à S.

Conjunto das partes do conjunto . A seção colorida em verde é um segmento inicial


DefiniçãoEditar

Existe mais do que uma definição aceita, mas elas mudam apenas com relação às exigências impostas à ordem do conjunto X. Por exemplo, nesta definição, exige-se que o conjunto X seja bem ordenado.

Seja   um conjunto bem ordenado. Um subconjunto   é um segmento inicial de   se satisfizer a condição

 

onde,   [1]


Outra definição mais usual é:

Seja   um conjunto totalmente ordenado. Um subconjunto   é um segmento inicial de   se satisfizer a condição

 

onde,   [2]

PropriedadesEditar

  • Se   é um segmento inicial de um conjunto totalmente ordenado  , então  
  • Se   e   são conjuntos bem ordenados, então ou   é isomorfo a um segmento inicial de  , ou   é isomorfo a um segmento inicial de  . [3]
  • A intersecção finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.
Demonstração
Sejam   e   um conjunto totalmente ordenado.

Para todo  , considere   um segmento inicial de  .

Assim, se  , então,   então, como   é um segmento inicial,  , logo,  , portanto,   é um segmento inicial de  

  • A união finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.
Demonstração
Sejam   e   um conjunto totalmente ordenado.

Para todo  , considere   um segmento inicial de  .

Assim, se  , então,   tal que   então, como   é um segmento inicial,  , logo,  , portanto,   é um segmento inicial de  

ExemplosEditar

  • No caso de um conjunto totalmente ordenado, os segmentos iniciais são intervalos. Em particular, no caso do conjunto R dos números reais, os segmentos iniciais não vazios e não iguais ao prório R são os intervalos de uma das duas formas:   ou  .
  •   é um segmento inicial de  .
  • Um corte inferior de Dedekind em   ou, simplesmente, um corte de Dedekind, é um segmento inicial de  , não vazio, majorado e sem máximo. [4]

Referências

  1. Ruy J. G. B. de Queiroz, Notas de aula do curso de teoria de conjuntos da Universidade Federal de Pernambuco UFPE.
  2. Karel Hrback e Thomas Jech. Introduction to set theory - third edition. ISBN 0-8247-7915-0. Page 104.
  3. Francisco Miraglia, Teoria de conjuntos: um mínimo., editora EDUSP. São Paulo, 1991.
  4. Fernando Ferreira, notas de aula do curso de Conjuntos e Fundamentos da Universidade de Lisboa, 2011.
  A Wikipédia tem o portal: