Sequência de números reais

Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. O estudo destas sequências traz resultados importantes na análise matemática de funções reais. Livros de análise matemática de função reais de uma variável real, usualmente, tratam sobre sequências. [1][2] Ao decorrer deste artigo iremos nos referir a estas sequências somente usando o termo sequência.

DefiniçãoEditar

Uma sequência de números reais é uma função real   definida no conjunto dos números naturais  . Notações usuais são:   ,  ,   ou, ainda, por extenso  . Ao escrever   estamos denotando apenas o termo da sequência de índice  , chamado de  -ésimo termo da sequência  .

ExemplosEditar

a)  

b)  

c)  

SubsequênciaEditar

Diretamente relacionado a sequência temos o conceito de subsequência. Uma subsequência de   é sua restrição a um subconjunto infinito  . Denotamos tal subsequência por   ou, simplesmente,   no caso do conjunto   estar subentendido. Note que toda subsequência   de uma sequência   é uma sequência, já que está definida para  , isto é, para cada  , temos um  .

ExemploEditar

  onde, aqui,   denota o conjunto dos números naturais pares, é uma subsequência da sequência  .

ClassificaçãoEditar

Dizemos que uma sequência de números reais   é limitada quando existe um intervalo   tal que   para todo  . Caso contrário, ela é dita ser ilimitada. Além disso, dizemos que uma sequência   é limitada superiormente quando existe um número   tal que   para todo  . Analogamente, dizemos que uma sequência   é limitada inferiormente quando existe   tal que  . Equivalentemente, dizemos que uma sequência de números reais é limitada se, ela for limitada superiormente e inferiormente. Isto é, quando existe um número  tal que  

ExemplosEditar

(a)   é uma sequência limitada, pois  .

(b)   é uma sequência ilimitada, mas limitada inferiormente. Com efeito,  .


Sequências de números reais também são classificadas conforme o comportamento de seus termos. Uma sequência   é dita ser (monotonamente) não decrescente quando  . Ela é dita ser (monotonamente) crescente quando  . Analogamente, dizemos que   é uma sequência (monotonamente) não crescente quando  . E, dizemos que ela é (monotonamente) decrescente quando  . Em qualquer um destes casos, dizemos que a sequência é monótona.

ExemplosEditar

(a)  é uma sequência limitada e decrescente.

(b)   é uma sequência ilimitada e crescente.

(c)   é uma sequência limitada não monótona.


Uma sequência também é classificada conforme a convergência de seus termos. Definimos a convergência de uma sequência ao tratar da definição de limite de uma sequência.

Limite de uma sequênciaEditar

A noção de limite se refere à tendencia dos termos de um sequência dada quando tomamos índices grandes. Por exemplo, ao tomarmos índices grandes, vemos que os termos da sequência   são números muito próximos de zero. Isto nos dá a noção de que esta sequência de números tende para o número zero quando fazemos   tender para o infinito. Livros de Cálculo[3][4] costumam explorar a noção de limite de sequências de forma intuitiva. Aqui, apresentamos um abordagem mais formal, típica de textos de análise matemática.

Definição de limite de uma sequênciaEditar

Diz-se que   é o limite da sequência de números reais   quando para todo número real  , existe   tal que se para todo índice  , tem-se  .

ConvergênciaEditar

Quando existe um número   que é limite de uma sequência  , dizemos que esta é uma sequência convergente. Neste caso, escrevemos  

que lê-se L é o limite da sequência   quando   tende ao infinito. Escreve-se também,   quando   que lê-se   tende a   quando   tende ao infinito. Ainda, é comum dizer simplesmente que o limite da sequência   é  , tomando-se por entendido que  . Neste contexto, escreve-se  

Caso não exista um tal   com a propriedade mencionada acima, dizemos que a sequência é divergente. Isto é,   é uma sequência divergente quando, para todo  , existe um número real   tal que para todo   existe um índice   tal que   ou  .

ExemploEditar

(a)   é uma sequência convergente. Com efeito, tomando  , vemos que para cada   podemos escolher um   tal que  . Logo, para todo índice   tem-se  .

(b)   é uma sequência divergente. Com efeito, seja   e  . Daí, temos que para todo   temos, por exemplo, que todo índice ímpar   implica   ou  . O raciocínio é análogo caso tentarmos  . Se, tomarmos   e  , então para todo   temos que os índices pares   são tais que  . Análogo para  . Assim, temos demonstrado que a sequência dada diverge.

ObservaçãoEditar

Toda sequência convergente é limitada. De fato, Se  , então dado qualquer   existe  tal que  . Isto significa que partir de um certo índice  , a sequência é limitada inferiormente por  e limitada superiormente por  .

Agora, considerando  , temos que  

Deve-se ter cuidado, pois nem toda sequência limitada é também convergente. Por exemplo, a sequência  é limitada, mas como visto no exemplo anterior, ela não é convergente.

Propriedades do limiteEditar

Limites de sequências têm uma série de propriedades. Aqui, enunciamos algumas das mais importantes (veja, por exemplo, os livros de análise matemática indicados nas referências deste artigo).

UnicidadeEditar

Se uma sequência tem um limite, ele é único.

Demonstração.

A prova deste enunciado pode ser feita por contradição. Com efeito, seja   uma sequência de números reais. Suponhamos que   sejam limites de  , com  . Tomemos   e  . Como   é limite de  , existe   tal que  , para todo  . Analogamente, como   é limite de  , existe   tal que  , para todo  . Logo, tomando   temos que   para todo  . Mas, isso é um absurdo, pois  . Logo,  .


Observamos que se   é o limite de uma sequência dada  , então toda subsequência   também converge para  . De fato, como  sabe-se que dado  tal que  . Basta tomar  . Então sendo  .

ExemploEditar

  converge para zero, assim como a subsequência   formada apenas pelos índices pares da sequência  .

Convergência de sequências monótonasEditar

Toda sequência limitada e monótona é convergente:

Considere   uma sequência não crescente. Como  é limitada, então ela é limitada superiormente por  e existe um limite inferior para os termos  . Seja  , mostraremos que  . Dado  , note que   não é o ínfimo do  . Daí, temos que existe  tal que  . Assim, para todo   temos que  , pois  é não crescente e, as desigualdades anteriores provam o resultado.

Propriedades AritméticasEditar

Se   e   é uma sequência limitada, então  .

Demonstração.

Seja   tal que   para todo  . Seja, também,  . Como  , existe   tal que  . Então:  .

Sejam   e   sequências de números reais convergentes, então:

  1.  
  2.  
  3.   se  
Demonstração.

Sejam   e  .

  1. Seja  . Existem   tais que   e  . Tomando  , temos que  
  2. Basta notar que  , sendo que estes dois termos são sequências convergentes (veja resultado anterior). Segue de 1. que  
  3. Como  , vemos que  é limitada. Notemos, também, que   e, por 2., sabemos que  . Utilizando o resultado anterior, novamente, temos  

Teorema de Bolzano-WeierstrassEditar

Toda sequência  limitada possui uma subsequência  convergente.Editar

Considere  uma sequência limitada de números reais. Se o conjunto  dos termos da sequência for finito, existe pelo menos um termo  que se repete indefinidamente. Isto é, podemos tomar   de modo que  e  .

Suponha então que  não é finito. Como  é limitada, podemos supor que  , com  . Divida  em dois intervalos de comprimento  . Em, pelo menos, um destes subintervalos existem infinitos termos  .

Seja  o intervalo com esta propriedade. Divida  em dois subintervalos de comprimento  . Como antes, considere  o intervalo que contém infinitos termos  .

Continuando com este procedimento, teremos uma sequência de intervalos  tais que:

1)  .

2) O comprimento de cada  é  .

Usando o teorema dos intervalos encaixados (consultar referência[1] para prova), existe  . Tome  de modo que  . Isso pode ser feito pois existem infinitos termos  em cada  .

Dado  , considere  tal que  . Daí,  .

Como o comprimento de  é   e  , temos que  .

Portanto, considerando  , temos  . Ou seja,  .Como queríamos demonstrar.

Sequências de CauchyEditar

Uma sequência  é dita de Cauchy quando, dado um  , existir um  tal que para todo  com  e  , implicar que  .

Toda sequência convergente é de Cauchy.Editar

Como  é uma sequência convergente, existe  tal que  . isto é, dado  , existe  tal que para  ,  e  .

Daí,  , ou seja,  é uma sequência de Cauchy.

Toda Sequência de Cauchy é convergenteEditar

Para mostrar este segundo resultado das sequências de Cauchy, é necessário apresentar dois lemas:

1) Toda sequência de Cauchy   é limitada.Editar

Como  é de Cauchy, tome um  fixo. Daí existirá  tal que  . Em particular, se considerarmos  , teremos que  , isto é,  . Seja  . Então,  , ou seja,  é limitada.

2) Se uma sequência de Cauchy  possui uma subsequência tal que  , então  ,  .Editar

Sendo  de Cauchy, dado  , existe  tal que  . Como  , existe  tal que  . Seja  , tomando  , temos:

 .

Agora provaremos que toda sequência de Cauchy converge.

Seja  uma sequência de Cauchy. Pelo lema 1) ela é limitada e, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, ela possui uma subsequência  convergente. Portanto, segue do lema 2) que  converge.

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise - Volume 1 14 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 9788524401183 
  2. Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680 
  3. Stewart, James (2013). Cálculo 5. ed. [S.l.]: Cengage Learning. ISBN 9788522112593 
  4. Anton, Howard (2007). Cálculo - um novo horizonte 8 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788560031801