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Um sistema dinâmico contínuo é um sistema dinâmico cujo estado evolui ao longo do espaço de estado continuamente de acordo com uma regra fixa.[1]

Usaremos a notação abreviada , , para representar as derivadas, em ordem ao tempo, de uma função que depende do tempo, e , , para representar as derivadas de uma função que depende de .

Consideremos, por exemplo:


Equações diferenciais de primeira ordemEditar

Uma equação diferencial ordinária ou em forma abreviada, EDO é uma equação que envolve uma função de uma única variável, por exemplo,  , e as suas derivadas; a variável   pode aparecer também na equação.

Se a única derivada que aparece na equação for a derivada de primeira ordem, a equação é designada por equação diferencial ordinária de primeira ordem. Assim, a forma geral das EDO de primeira ordem é  , mas vamos considerar unicamente as equações que possam ser escritas como uma ou mais equações da forma

 

Dois exemplos de EDO de primeira ordem são os seguintes:

 

a função em questão,   nos dois casos, é chamada variável dependente. A variável da qual depende a função é designada de variável independente.

Na primeira equação acima, a variável independente é  . No segundo caso, a variável independente não aparece na equação, mas a partir da derivada   torna-se evidente que a variável independente é  .

Uma solução de uma EDO, num dado intervalo, é qualquer função   de uma variável que verifique a equação, quando substituída pela variável dependente.

Campo de direçõesEditar

 
Campo de direções da equação y' = y + x , e a solução que passa pelo ponto o (x0,y0)

É possível descobrir muita informação importante sobre as soluções da equação como a partir de uma análise geométrica simples da função

 .

A função   define, em cada ponto do plano  , o declive que deverá ter uma função   que seja solução da EDO.

O campo de direções é um gráfico do plano  , onde em alguns pontos aparece um vector com declive igual ao valor de   nesse ponto. Assim, as soluções da equação diferencial deverão ser as curvas tangentes a esses vectores. Por exemplo, A figura ao lado mostra o campo de direções da equação  , e uma solução.

Existem, em geral, muitas soluções de uma equação diferencial de primeira ordem. Dado um valor inicial  , é possível calcular a derivada   no ponto  , de acordo com a equação diferencial, a derivada nesse ponto é igual a  .

E geralmente é possível encontrar uma solução particular que passe pelo ponto   e com derivada igual a   em cada ponto.

O problema de valor inicial:

 

consiste em encontrar a solução particular que passa pelo ponto  .

Sistemas dinâmicos de primeira ordemEditar

Para introduzir alguns conceitos básicos que serão essenciais , vamos analisar dois sistemas dinâmicos simples: um sistema em queda livre e um circuito RC. Nas próximas seções generalizaremos essa análise ao caso de outros sistemas, que podem aparecer em campos muito diversos, diferentes da dinâmica e da teoria de circuitos.

Queda livreEditar

Consideremos primeiro o caso de um objeto que cai livremente dentro de um tubo com vácuo. Nessas condições, a única força externa que atua sobre o sistema é o seu peso,  , e a segunda lei de Newton para este sistema é:

 

A massa do objecto é eliminada nos dois lados da equação, e a aceleração instantânea   é igual à derivada da velocidade,  . Assim, obtemos

 

a aceleração será independente da massa ou forma do objecto, e igual à aceleração da gravidade,  . O sinal negativo é devido a estarmos a considerar o sentido positivo da velocidade (e da aceleração) de baixo para cima.

 
Campo de direções da equação  

O campo de direções para a equação diferencial é formado por vetores paralelos, todos com declive igual a   (figura ao lado).

No gráfico apresentado é fácil ver que as soluções da equação são rectas com declive igual a  .

A velocidade diminui continuamente a uma taxa de   cada segundo.

A solução que se mostra na figura anterior corresponde a um objecto que foi lançado verticalmente para cima (velocidade positiva), com uma velocidade inicial de 22 m/s. A velocidade decresce até zero, aproximadamente dois segundos mais tarde, no ponto mais alto da trajetória, e continua a diminuir passando para valores negativos, que indicam que o objecto está a descer.

Se o sistema em queda livre não estiver dentro de um tubo de vácuo, existe outra força externa que não pode ser desprezada: o atrito com o ar. A força de atrito com o ar é sempre oposta à velocidade e depende da forma do objecto e do quadrado do módulo da velocidade.

A expressão matemática para essa força é

 

onde   é a área da secção transversal do objeto,   é a massa volúmica do ar, e   é uma constante, sem unidades, que depende da forma geométrica; para esferas,   tem o valor de 0.5, e para um pára-quedas circular é aproximadamente  .

O produto   garante um sentido oposto à velocidade; se o objecto desce,  , e força de atrito será para cima (  positivo).

Se objeto sobe,  , e a força de atrito será para baixo (  negativo).

A segunda lei de Newton para o objecto em queda livre é

 

Para poder desenhar o campo de direções, será preciso substituir os valores numéricos dos parâmetros.

Alguns valores realistas para um pára-quedista são:  ,   kg e  .

A aceleração da gravidade é aproximadamente  .

A massa volúmica do ar varia com a temperatura, a umidade relativa e a altura sobre o nível do mar. À temperatura ambiente e alguns metros por cima do nível do mar, a massa volúmica do ar é aproximadamente  .

Assim, em unidades SI, a equação é igual a

 

Circuito RCEditar

 
Circuito RC

Um circuito RC é constituído por um capacitor, em série com uma resistência   e uma fonte de tensão com força eletromotriz constante,  .

A soma algébrica das diferenças de potencial nos três elementos do circuito, deverá ser nula. A diferença de potencial na fonte é  , a diferença de potencial na resistência é   e a diferença de potencial no capacitor é  

 

Toda a carga que passa pela resistência, ou sai de uma das armaduras do capacitor, ou é armazenada nessa armadura. Isso implica que a corrente através da resistência é igual à derivada da carga no capacitor. A equação reduz-se a uma equação diferencial para a carga no capacitor em função do tempo

 

Para desenhar o campo de direções, vamos substituir alguns valores típicos dos elementos do circuito:

 ,   e  .

Convém usar um sistema de unidades apropriado, para evitar os erros numéricos associados aos números muito grandes ou muito pequenos. Usaremos unidades de micro-coulombs,  , para a carga, e o tempo em ms.

Nesse sistema de unidades, e substituindo os valores da resistência, capacidade e força eletromotriz, a equação toma a forma

 

Sistemas autônomosEditar

Considerando o sistema na expressão :

 

Nesse caso a função   não depende da variável independente  . Do ponto de vista físico, a evolução da variável independente não depende do instante inicial; isto é, a partir de uma velocidade inicial o movimento do sistema será exatamente o mesmo, independentemente do instante em que o sistema obteve essa velocidade inicial. Se repetirmos uma experiência de queda livre uns dias mais tarde, o resultado da experiência será o mesmo.

Do ponto de vista geométrico, as soluções formam famílias de curvas idênticas, deslocadas na direção do eixo horizontal. O campo de direções é invariante se for deslocado na horizontal (eixo do tempo).

Esse tipo de equações diferenciais, em que a função   não depende da variável independente, são designadas de equações diferenciais autônomas. São equações muito importantes, pois aparecem em muitos problemas e inclusivamente nos problemas que conduzem a equações não autônomas, é sempre possível transformar as equações num sistema de equações autônomas.

Assim, a partir desta seção vamos estudar unicamente sistemas autônomos, em que as equações do sistema são equações diferenciais autônomas. Um sistema dinâmico autônomo de primeira ordem é um sistema caracterizado por:

  • Uma variável dependente do tempo,  , que designamos por variável de estado
  • Uma equação diferencial ordinária, autônoma, de primeira ordem:   que define a evolução da variável de estado, a partir de um estado inicial  , e designaremos de equação de evolução.

Retrato de faseEditar

Os pontos fixos de um sistema dinâmico contínuo, de primeira ordem, são os pontos onde a derivada da variável de estado é nula. Nesses pontos o estado do sistema permanece constante.

O retrato de fase de um sistema dinâmico é um esboço do campo de direções, mostrando os pontos fixos e algumas soluções que começam ou terminam nesses pontos. Os pontos fixos representam-se por meio de um ponto.

Como a derivada   num sistema autônomo (equação) depende apenas da variável de estado,  , o declive do campo de direções é o mesmo em todos os pontos com o mesmo valor de  .

 
Retrato de fase para a velocidade de uma partícula, onde   designa a velocidade terminal.

Assim, para representar o campo de direções, basta desenhar a projeção do campo ao longo do eixo da variável de estado (eixo vertical). O retrato de fase será uma linha onde se mostram os pontos fixos e as direções das trajetórias.

O retrato de fase do campo da é apresentado na figura ao lado.

A velocidade terminal obtém-se a partir da equação da segunda lei de Newton para o objecto em queda livre, no ponto em que a derivada for igual a zero

 

Assim, neste caso, existe um único ponto fixo, correspondente à velocidade terminal.

Na região à esquerda da velocidade terminal, do retrato de fase da figura anterior, o lado direito da segunda lei de Newton para o objecto em queda livre é positivo e, portanto, a derivada da velocidade é positiva. Tal fato é indicado pela seta que aponta para a direita.

A solução que se aproxima do ponto fixo (velocidade terminal) pela esquerda, corresponde ao caso em que no instante inicial o pára-quedista está a descer com uma velocidade com módulo maior que a velocidade terminal; o pára-quedas trava a queda até que o pára-quedista alcança a velocidade terminal. O ponto fixo é um nó atrativo; todas as soluções aproximam-se dele.

 
Retrato de fase de um circuito RC

No caso do circuito RC, que também é um sistema autônomo de primeira ordem, o retrato de fase é semelhante a da partícula em queda.

O ponto fixo é o ponto  , que faz com que a derivada seja nula. É um nó atrativo; a carga no condensador aproximar-se-á de  , independentemente do seu valor inicial.

Em geral, o ponto fixo localiza-se em  . Os valores negativos da carga representam situações em que o condensador encontra-se carregado em modo inverso à bateria.

Método de EulerEditar

Os métodos de resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

 

consistem em calcular o valor da variável de estado numa sequência discreta de instantes  , usando alguma estimativa dos valores médios das derivadas durante cada intervalo de tempo  , a partir da função   que é a derivada instantânea.

Podemos usar uma sequência de instantes   igualmente espaçados entre si, com incremento de tempo  :

 

assim, substituiremos a variável contínua   por uma variável discreta:

 

O sistema contínuo é substituído por um sistema discreto. A equação de evolução desse sistema discreto dependerá do método numérico usado para fazer a estimativa do valor médio da derivada em cada intervalo  .

 
Método de euler para calcular as soluções de um sistema contínuo de primeira ordem.

Existem muitos métodos numéricos para resolver sistemas dinâmicos contínuos. Nesta secção apresentaremos um método muito simples, o método de Euler.

Usando a notação introduzida na equação, a definição da derivada  , no instante  , escreve-se

 

Assim, se   for suficientemente pequeno, a equação anterior conduz a uma forma aproximada de calcular   em função do estado,  , e da derivada no instante  .

 

Combinando essa aproximação com a primeira equação da seção (método de euler), , obtemos a equação do sistema discreto equivalente:

 

A condição inicial   permite-nos calcular  , usando a equação de recorrência , e assim sucessivamente podemos calcular  ,  ,etc.

É de salientar que a aproximação que se fez consiste em admitir que o valor médio da derivada   no intervalo   é igual ao valor da derivada no instante inicial do intervalo.

Do ponto de vista gráfico, o que estamos a fazer é deslocarmos-nos, desde o ponto  , uma distância  , segundo o eixo  , na direção do campo de direções, como se mostra na figura anterior.

Como mostra a figura, a direção do campo no ponto   já não é a mesma no ponto  e, assim, a curva obtida não segue perfeitamente o campo de direções. Mas se   for suficiente pequeno, obtém-se uma boa aproximação.

Resolução analítica das equações diferenciaisEditar

Existem alguns tipos de equações ordinárias de primeira ordem que podem ser resolvidas analiticamente ,as quais veremos a seguir.

Equações de variáveis separáveisEditar

Se a equação tiver a forma

 

é designada por equação de variáveis separáveis. Para resolver este tipo de equação, primeiro observemos que a primitiva da função   pode ser calculada da seguinte forma

 

a equação diferencial pode ser escrita como

 

a primitiva do lado esquerdo, em ordem a  , é igual à primitiva de  , em ordem a  , como acabamos de ver; assim, temos que

 

Se conseguirmos calcular as primitivas a cada lado da equação, obteremos a solução analítica da equação diferencial.

Equações linearesEditar

Uma equação diferencial linear, de primeira ordem, tem a forma geral

 

onde   e   são quaisquer duas funções que dependem apenas de   (podem também ser constantes).

No caso particular em que a função   for uma constante  , o lado esquerdo terá alguma semelhança com a seguinte derivada

 

consequentemente, se multiplicarmos os dois lados da equação diferencial por   obteremos:

 

No caso geral em que   depender de  , usaremos a primitiva de   em vez de  , e o fator integrante pelo qual deveremos multiplicar a equação será

 

multiplicando os dois lados da equação diferencial por   obtém-se

 

Equações exatasEditar

Qualquer equação de primeira ordem pode ser escrita na forma [1]

 

que conduz a

 

esta forma é semelhante à expressão da diferencial de uma função de duas variáveis

 

Esta equação sugere-nos admitir que existe uma função   cujas derivadas parciais são iguais a   e  ; no entanto a segunda derivada parcial de   seria

 

Assim, para que a conjectura da existência da função   seja consistente, é necessário que as funções   e   verifiquem a seguinte condição

 

nesse caso diz-se que a equação é exata e existirá uma função   tal que a equação diferencial é equivalente à condição

 

assim, a solução geral da equação diferencial será a família de curvas

 

A função   calcula-se encontrando a função cujas derivadas parciais sejam iguais a   e  .

Equações homogêneasEditar

Uma equação de primeira ordem diz-se homogênea se tiver a seguinte forma geral

 

para resolver esse tipo de equação usa-se a substituição

 

a qual torna a equação numa equação de variáveis separáveis. Para reconhecer facilmente se uma função racional é da forma   observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de   mais o expoente de  ) os quais deverão ser iguais.

Por exemplo, das duas funções seguintes as duas primeiras tem a forma   mas a terceira não

 

Equação de BernoulliEditar

Um tipo de equação diferencial que pode ser reduzida a equação linear, é a chamada equação de Bernoulli, definida por

 

onde   é um número racional, diferente de 0 e de 1. A substituição

 

transforma a equação de Bernoulli numa equação linear.

Equação de RiccatiEditar

Outra equação redutível a equação linear é a equação de Riccati:

 

onde  ,   e   são três funções que dependem de  . Se conhecermos uma solução particular da equação, por exemplo  , a seguinte mudança de variável transformará a equação de Riccati numa equação linear [1]

 

Referências

  1. a b c [ Introdução aos sistemas dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN972-99396-0-8. Acesso em 09 julho. 2013.

Ligações externasEditar