Soma direta

O conceito de soma direta é recorrente em álgebra, se aplicando a diversas estruturas algébricas, como grupos, anéis e espaços vetoriais. A soma direta é o que, em teoria das categorias, é conhecido por coproduto de estruturas algébricas.

Soma direta de espaços vetoriaisEditar

Sejam   e   dois espaços vetoriais sobre um campo   tais que  . O espaço vetorial   resultante da soma direta entre   e   é definido da seguinte forma:

 

Soma direta de grupos abelianosEditar

Dada uma família   de grupos abelianos, definimos a soma direta de   denotada por   como sendo o grupo cujos elementos são  -uplas   cujas entradas são todas nulas, a menos um de um subconjunto finito de índices em   e cuja soma entre   é   Utilizamos aqui a notação aditiva de grupos.

Soma direta de dois gruposEditar

 Ver artigo principal: Grupo livre

A soma direta de dois grupos G e H é (pela definição de coproduto) o grupo mais genérico contendo subgrupos isomórficos a G e a H, e em que cada elemento é o produto (finito) de elementos destes subgrupos.

Identificando G e H com os subgrupos da soma direta, temos, por exemplo, que se x for um elemento de G e y um elemento de H, x2y10x-1yx-3 será um elemento da soma direta.

De modo geral, qualquer elemento da soma direta é uma expressão da forma:

 

em que os gs pertencem ao subgrupo isomórfico a G, os hs ao subgrupo isomórfico a H. Esta representação não é única, pois alguns g e h podem ser o elemento neutro da soma direta.