Teorema da média geométrica

O teorema da altura do triângulo retângulo ou teorema da média geométrica é um resultado na geometria elementar que descreve uma relação entre os comprimentos da altura da hipotenusa em um triângulo retângulo e os dois segmentos de reta que ele cria na hipotenusa. Ele afirma que a média geométrica dos dois segmentos é igual à altura.

área do quadrado cinza = área do retângulo cinza:

Teorema e aplicaçõesEditar

 
Construção de   definindo   para 1

Se   denota a altitude em um triângulo retângulo   e   os segmentos na hipotenusa, o teorema pode ser declarado como:

 

ou em termos de áreas:

 

 
Desigualdade  - 

A última versão gera um método para quadrar um retângulo com régua e bússola, ou seja, construir um quadrado de área igual a um determinado retângulo. Para tal um retângulo com os lados   e   indicam que a sua parte superior à esquerda vértice com  . Agora, estendemos o segmento   para a esquerda por   (usando o arco   centralizado em  ) e desenhamos um semicírculo com os pontos finais   e   com o novo segmento   como seu diâmetro. Em seguida, erigimos uma linha perpendicular ao diâmetro em   que cruza o semicírculo em  . Devido ao teorema de Tales,   e o diâmetro forma um triângulo retângulo com o segmento de reta   como sua altitude, portanto,   é o lado de um quadrado com a área do retângulo. O método também permite a construção de raízes quadradas (consulte o número construtível), já que, começando com um retângulo com largura 1, o quadrado construído terá um comprimento lateral igual à raiz quadrada do comprimento do retângulo.

O teorema pode ser usado para fornecer uma prova geométrica da desigualdade  -  no caso de dois números. Para os números de   e   um constrói um meio círculo com diâmetro  . Agora a altitude representa a média geométrica e o raio a média aritmética dos dois números. Como a altitude é sempre menor ou igual ao raio, isso gera desigualdade.

ReferênciasEditar

Ligações externasEditar