Teorema da média geométrica

O teorema da altura do triângulo retângulo ou teorema da média geométrica é um resultado na geometria elementar que descreve uma relação entre os comprimentos da altura da hipotenusa em um triângulo retângulo e os dois segmentos de reta que ele cria na hipotenusa. Ele afirma que a média geométrica dos dois segmentos é igual à altura.

área do quadrado cinza = área do retângulo cinza: $h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}$

Teorema e aplicações

Construção de ${\sqrt {p}}$ definindo $q$   para 1

Se $h$ denota a altitude em um triângulo retângulo $\Delta EP$ e $q$ os segmentos na hipotenusa, o teorema pode ser declarado como:

$h={\sqrt {pq}}$

ou em termos de áreas:

$h^{2}=pq$

Desigualdade $AM$-$GM$

A última versão gera um método para quadrar um retângulo com régua e bússola, ou seja, construir um quadrado de área igual a um determinado retângulo. Para tal um retângulo com os lados $p$ e $q$ indicam que a sua parte superior à esquerda vértice com $D$. Agora, estendemos o segmento $q$ para a esquerda por $p$ (usando o arco ${\overset {\frown }{AE}}$ centralizado em $D$) e desenhamos um semicírculo com os pontos finais $A$ e $B$ com o novo segmento $p+q$ como seu diâmetro. Em seguida, erigimos uma linha perpendicular ao diâmetro em $D$ que cruza o semicírculo em $C$. Devido ao teorema de Tales, $C$ e o diâmetro forma um triângulo retângulo com o segmento de reta ${\overline {DC}}$ como sua altitude, portanto, ${\overline {DC}}$ é o lado de um quadrado com a área do retângulo. O método também permite a construção de raízes quadradas (consulte o número construtível), já que, começando com um retângulo com largura 1, o quadrado construído terá um comprimento lateral igual à raiz quadrada do comprimento do retângulo.

O teorema pode ser usado para fornecer uma prova geométrica da desigualdade $AM$-$GM$ no caso de dois números. Para os números de $p$ e $q$ um constrói um meio círculo com diâmetro $p+q$. Agora a altitude representa a média geométrica e o raio a média aritmética dos dois números. Como a altitude é sempre menor ou igual ao raio, isso gera desigualdade.

Referências

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. MAA 2011, ISBN 9780883853528, pp. 31–32 (cópia online, p. 31, no Google Livros)
• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementary Geometry. AMS 2008, ISBN 9780821843475, p. 25 (cópia online, p. 25, no Google Livros)
• Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, ISBN 9783834808561, pp. 76-77 (em alemão, cópia online, p. 76, no Google Livros)
• Euclid: Elements, livro II – prop. 14, livro VI – prop. 8, (cópia online)

Ligações externas

• Geometric Mean no Cut-the-Knot