Teorema de Erdős–Wintner

O Teorema de Erdős–Wintner é um teorema da Teoria Probabilística dos Números assim nomeado por ter sido provado por Paul Erdős e Aurel Wintner.

Teoria

Sejam x e y tais que $2\leq x\leq y.$   A notação

$v_{x,y}(n;f(n)<=z)$          $(1)$

é a frequencia entre os inteiros n no intervalo semi-aberto $]x-y;x]$ daqueles para os quais a função aditiva real $f(n)$ não exceda z.

Seja $c>1$ e $N_{j}$ uma sequência crescente de inteiros positivos para os quais $N_{j+1}\leq N_{j}^{c}$.

Seja $M_{j}$ uma outra sequência de números inteiros, $M_{j}<=N_{j}$, $\log M_{j}/\log N_{j}\to 1$,   já que $j\to \infty$.

Na ordem que as frequências

$v_{N_{j},M_{j}}(n;f(n)\leq z)$          $(2)$

convergem fracamente, como $j\to \infty$, é necessário e suficiente que as três séries

$\sum _{|f(p)|>1}{\frac {1}{p}},\sum _{|f(p)|\leq {1}}{\frac {f(p)}{p}},\sum _{|f(p)|\leq {1}}{\frac {f(p)^{2}}{p}}$          $(3)$

convirjam.

Resultados

Quando $N_{j}=j$ e $M_{j}=j$, este é o Teorema de Erdős–Wintner. Para $N_{j}=j$ e algum $M_{j}$ que satisfaça $M_{j}/N_{j}\to 0$, em conjunto com a condição acima $\log M_{j}\thicksim \log N_{j}$ foi provada por A. J. Hildebrand.