Teorema de Lagrange (teoria dos grupos)

O Teorema de Lagrange, aplicado na teoria dos grupos, é um teorema que diz que se é um grupo finito e é subgrupo de então a ordem (quantidade de elementos) de divide a ordem de Provemos um resultado antes de partir para a demonstração do Teorema de Lagrange.

Teorema 0.1

Se é uma relação de equivalência em então onde tal união é sobre um elemento de cada classe e onde implica Ou seja, particiona em classes de equivalência.

Demonstração Seja Note que Portanto, é claro que

Suponhamos que e provemos que

Seja

Então e

Por um lado

Por outro

Seja

Então

Mas logo e assim

Portanto Seja

Então Mas logo e assim

Portanto

E, dessa forma,

Demonstração do Teorema de LagrangeEditar

Seja   a relação de equivalência definida por   se  

Temos que  

Seja   o número de classes de distintas de   - chamemo-as de  

Pelo Teorema 0.1,   e sabemos que   se  

Provemos que qualquer   possui   elementos.

Seja   uma função tal que  

Provemos que   é bijetora.

Note que   é injetora pois   implica   e é sobrejetora pela definição de  

Potanto,   é bijetora e, assim,  

Como   e tais   são disjuntos com   elementos, teremos que  

Portanto,   divide    

Ver tambémEditar

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