Teorema de Stewart

Em geometria, o teorema de Stewart produz uma relação entre o tamanho dos lados de um triângulo e o tamanho de uma ceviana do triângulo. Este nome é em honra do matemático escocês Matthew Stewart que publicou o teorema em 1746.

Teorema

Sendo $a$, $b$, e $c$ os tamanhos dos lados do triângulo. Sendo $d$ a ceviana do lado $a$. Se a ceviana divide o lado $a$ em dois segmentos de tamanho $m$ e $n$, então o teorema de Stewart diz que:

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)\,$

Diagram of Stewart's theorem

Prova

O teorema pode ser provado com a aplicação da lei dos cossenos:

Se θ é o ângulo entre m e d, θ' o ângulo entre n e d. Então θ′ que é o suplemento de θ e cos θ′ = −cos θ. Da lei dos cossenos entre θ e θ′, temos:

${\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}$

Multiplique a primeira equação por n, e a segunda por m, e elimine o cos θ, assim obtemos:

${\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2}),\\\end{aligned}}$

que é a equação que queríamos demonstrar.

O teorema também pode ser provado pelo teorema de Pitágoras.

Referências

• Hutton, C.; Gregory, O. (1843). A Course of Mathematics. II. [S.l.]: Longman, Orme & co. p. 219 
• Weisstein, Eric W. «Stewart's Theorem» (em inglês). MathWorld 
• Russell, John Wellesley (1905). «Chapter 1 §3: Stewart's Theorem». Pure Geometry. [S.l.]: Clarendon Press