Teorema dos quatro vértices
O teorema dos quatro vértices estabelece que a função curvatura de uma curva plana simples, fechada, suave tem pelo menos quatro locais extremos (especificamente, pelo menos, dois máximos locais e pelo menos dois mínimos locais). O nome do teorema deriva da convenção de chamar um ponto extremo da função curvatura um vértice.[1][2][3]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Ellipse_evolute.svg/240px-Ellipse_evolute.svg.png)
Exemplos
editarUma elipse tem exatamente quatro vértices: dois máximos locais de curvatura onde é atravessada pelo eixo maior da elipse, e dois mínimos locais de curvatura onde é atravessado pelo eixo menor. Em um círculo, cada ponto é ao mesmo tempo um máximo local e um mínimo local de curvatura, por isso há um número infinito de vértices.
História
editarO teorema de quatro vértice foi demonstrado pela primeira vez para curvas convexas (i.e. curvas com curvatura estritamente positiva) em 1909 por Syamadas Mukhopadhyaya.[4]
Referências
- ↑ Cirilo Gonçalves Júnior, Antônio Carlos Nogueira; O teorema dos quatro vértices - uspdigital.usp.br
- ↑ TENENBLAT, K. . Introdução à Geometria Diferencial, Editora UNB, 1988.
- ↑ GIBSON, C. G. Elementary Geometry of Differentiable Curves, Cambridge University Press, 2001.
- ↑ Mukhopadhyaya, S. (1909). «New methods in the geometry of a plane arc». Bull. Calcutta Math. Soc. 1: 21–27