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Em análise complexa, o resíduo de uma função analítica f numa singularidade p é um número complexo que permite calcular o valor de um integral de linha de f cuja imagem esteja na vizinhança de p. Há métodos simples de cálculo de resíduos e, por outro lado, o conhecimento dos resíduos de f permite calcular integrais de f ao longo de lacetes arbitrários, através do teorema dos resíduos.

Índice

MotivaçãoEditar

Como exemplo, considere a integral de contorno

 

onde C é uma curva de Jordan em torno de 0.

Agora calculamos essa integral utilizando os teoremas padrões de integral disponíveis. Assim, a série de Taylor para ez é conhecida, e podemos substituir esta série no integrando. A integral passa a ser

 

Trazendo o termo 1/z5 para dentro da série, obtemos

 
 

A integral agora toma uma forma muito mais simples. Lembre-se que

 

Então, a integral em torno de C de todos os termos que não estão na forma cz−1 são iguais a zero e a integral é reduzida a

 

O valor 1/4! é conhecido como o resíduo de ez/z5 em z = 0, e denotado como

 

DefiniçãoEditar

Seja   um subconjunto aberto do plano complexo  , e   um ponto de  . Seja

 

uma função holomorfa, que apresenta em   uma singularidade isolada e possui uma única expansão local na série de Laurent

 

O resíduo de   em   é o coeficiente   da série de Laurent.

Ver tambémEditar

BibliografiaEditar

  • L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.
  • Ruel V. Churchill, Complex variables and applications, McGrall Hill, 1960

Ligações externasEditar