Teste da divergência

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Em matemática, o teste da divergência ou teste do termo geral estabelece que uma série numérica não pode convergir se o seu termo geral não converge para zero. Ou seja:

Se converge, então seu termo geral converge para zero.

DemonstraçãoEditar

Considere as somas parciais  

  Queremos mostrar que a convergência de   implica que o limite   exista e seja nulo.

Como a seqüência   é convergente, ela também é uma seqüência de Cauchy (pois estes conceitos são equivalentes em espaços métricos completos). Logo temos que para todo   positivo, vale o limite:

 

O teorema do termo geral é o caso particular em que  , pois:

 

O que completa a demonstração.

Outra demonstraçãoEditar

Se o limite   existe, então:

 

E

 

A recíproca não é verdadeiraEditar

Observe cuidadosamente que a recíproca não é verdadeira, um contra-exemplo simples é a série harmônica:

 

onde o termo geral   tende a zero, mas a soma diverge.

Se o termo geral converge a zero o teste é inconclusivoEditar

Quando o limite do termo geral vai a zero a série pode convergir ou divergir, o que torna o teste inconclusivo. No parágrafo anterior vimos o exemplo da série harmônica que diverge e o termo geral vai a zero. Resta mostrar um exemplo de uma série que converge e o termo geral também vai a zero. Um exemplo deste tipo é série geométrica de razão 1/2 a seguir:

 .

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