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Sucessão de Cauchy

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Em matemática, uma sucessão de Cauchy ou sequência de Cauchy é uma sucessão tal que a distância entre os termos vai se aproximando de zero. Deve o seu nome ao matemático francês Augustin Louis Cauchy. Intuitivamente é uma sequência onde seus termos vão ficando cada vez mais próximos.

Definição para números reaisEditar

Uma sequência   é chamada de sequência de Cauchy se para qualquer número positivo   existe um natural   tal que se   são maiores do que   a distância entre   e   é menor do que  . Em linguagem simbólica temos:

 

Nos reais uma sequência é convergente se, e somente se, for de Cauchy: esta propriedade é chamada de completude e torna os Reais um espaço completo.

Definição para espaços métricosEditar

Depois de definir de Cauchy para os reais é simples estender a definição para espaços métricos quaisquer.

Se   é um espaço métrico e   sua métrica dizemos que   diz-se de Cauchy se:

 

Em espaços normados , esta definição se escreve como:

 

ExemplosEditar

  •   em  , dada por  .

De fato, dado  , pela propriedade arquimediana, podemos encontrar   tal que  , então se  , sem perda de generalidade, podemos supor que  , assim, teremos  . De onde concluimos que  , portanto   é uma seqüência de Cauchy.

Convergência e completudeEditar

 Ver artigo principal: Espaço completo

Qualquer sucessão convergente (no sentido usual) é de Cauchy, no entanto existem espaços contendo sucessões de Cauchy não convergentes. Por exemplo, a sucessão   é de Cauchy, mas não é convergente no intervalo (0,1) (embora o seja em  ). A um espaço onde todas as sucessões de Cauchy são convergentes chama-se um espaço completo.

Dado E um espaço métrico qualquer, é possível construir uma extensão de E que é um espaço métrico completo. Esta extensão é única (no sentido categorial), ou seja, dadas duas completudes de E elas são isométricas.

GeneralizaçõesEditar

Espaços Vectoriais TopológicosEditar

Em um espaço vectorial topológico genérico, não podemos usar esta definição, porque uma métrica pode não existir. No entanto, como uma topologia corresponde à noção intuitiva de proximidade, pode-se definir o que é uma sucessão de Cauchy em um espaço vectorial topológico como uma sucessão   em que, a partir de qualquer n, os termos seguintes vão ficando cada vez mais próximos.

Ou seja, qualquer que seja uma vizinhança do vector nulo, termos suficientemente altos da sucessão vão diferir entre si de um vector que está nesta vizinhança.

Em termos rigorosos, seja   a topologia. Isto se escreve assim:

 

Se a topologia do espaço vectorial topológico é induzida por uma métrica d invariante por translação então as duas noções são equivalentes.