Transformada de Anscombe

Em estatística, a transformada de Anscombe, nomeada em homenagem a Francis Anscombe, é uma transformação de estabilização de variância que transforma uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson em uma com uma distribuição Gaussiana aproximadamente padrão. A transformada de Anscombe é amplamente usada em imagens limitadas por fótons (astronomia, raios-X), onde as imagens seguem naturalmente a lei de Poisson. A transformada de Anscombe é geralmente usada para pré-processar os dados a fim de tornar o desvio padrão aproximadamente constante. Em seguida, algoritmos de redução de ruído projetados para a estrutura de ruído gaussiano branco aditivo são usados; a estimativa final é então obtida aplicando uma transformação inversa de Anscombe aos dados sem ruído.

Desvio padrão da variável aleatória de Poisson estabilizada após transformação com transformada estabilizadora de variância de Anscombe.

Definição

Para a distribuição de Poisson, a média $m$ e a variância $v$ não são independentes: $m=v$. A transformada de Anscombe

$A:x\mapsto 2{\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\,$

visa transformar os dados de forma que a variância seja definida em aproximadamente 1 para uma média grande o suficiente; para o zero médio, a variância ainda é zero.

Ele transforma os dados Poissonianos $x$ (com média $m$) em dados aproximadamente Gaussianos da média $2{\sqrt {m+{\tfrac {3}{8}}}}-{\tfrac {1}{4\,m^{1/2}}}+O\left({\tfrac {1}{m^{3/2}}}\right)$ e desvio padrão $1+O\left({\tfrac {1}{m^{2}}}\right)$. Esta aproximação é boa, desde que $m$ é maior que 4. Para uma variável transformada do formulário $2{\sqrt {x+c}}$, a expressão para a variação tem um termo adicional ${\frac {{\tfrac {3}{8}}-c}{m}}$; é reduzido a zero em $c={\tfrac {3}{8}}$, que é exatamente a razão pela qual esse valor foi escolhido.

Inversão

Quando a transformada de Anscombe é usada na remoção de ruído (ou seja, quando o objetivo é obter $x$ uma estimativa de $m$), também é necessário para retornar os dados estabilizados de variância e com silenciador $y$ para o intervalo original. Aplicando o inverso algébrico.

$A^{-1}:y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\frac {3}{8}}$

geralmente introduz um viés indesejado na estimativa da média $m$, porque a transformação direta de raiz quadrada não é linear. Às vezes, usando o inverso assintoticamente imparcial

$y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}$

mitiga a questão do viés, mas este não é o caso na imagem limitada por fótons, para a qual o inverso imparcial exato dado pelo mapeamento implícito

$\operatorname {E} \left[2{\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\mid m\right]=2\sum _{x=0}^{+\infty }\left({\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\cdot {\frac {m^{x}e^{-m}}{x!}}\right)\mapsto m$

deve ser usado. Uma aproximação de forma fechada deste inverso imparcial exato é

$y\mapsto {\frac {1}{4}}y^{2}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}y^{-1}-{\frac {11}{8}}y^{-2}+{\frac {5}{8}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}y^{-3}.$

Alternativas

Existem muitas outras transformações de estabilização de variância possíveis para a distribuição de Poisson. O relatório Bar-Lev e Enis uma família de tais transformações que inclui a transformação de Anscombe. Outro membro da família é a transformação Freeman-Tukey

$A:x\mapsto {\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}.\,$

Uma transformação simplificada, obtida como a primitiva do recíproco do desvio padrão dos dados, é

$A:x\mapsto 2{\sqrt {x}}\,$

que, embora não seja tão bom em estabilizar a variância, tem a vantagem de ser mais facilmente compreendida. Na verdade, a partir do método delta,

$V[2{\sqrt {x}}]\approx \left({\frac {d(2{\sqrt {m}})}{dm}}\right)^{2}V[x]=\left({\frac {1}{\sqrt {m}}}\right)^{2}m=1$.

Generalização

Embora a transformada de Anscombe seja apropriada para dados Poisson puros, em muitas aplicações os dados apresentam também um componente Gaussiano aditivo. Esses casos são tratados por uma transformação Anscombe generalizada e seus inversos não enviesados assintoticamente ou exatos não enviesados.