Universo de Grothendieck

Na teoria dos conjuntos, pelo menos com os axiomas de Zermelo-Fraenkel, é contraditória a existência de um conjunto incluindo todos os conjuntos. O conceito de universo de Grothendieck (de Alexander Grothendieck, matemático alemão) permite considerar conjuntos que, apesar de não incluírem todos os conjuntos, são suficientemente grandes para permitir certas operações matemáticas.

Definição

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Um universo de Grothendieck é um conjunto U com as propriedades:

  1. Se x é um elemento de U e y é um elemento de x, então y é um elemento de U (isto é, U é um conjunto transitivo.)
  2. Se x e y são elementos de U, então o conjunto {x, y} é um elemento de U.
  3. Se x é um elemento de U, então o conjunto das partes P(x) é um elemento de U.
  4. Se I (um conjunto de índices) é um elemento de U, e, para cada iI, há um elemento xiU, a união iI xi pertence a U.

Com essas regras, os universos de Grothendieck mais simples serão o conjunto vazio, e conjunto dos conjuntos hereditariamente finitos (isto é, os conjuntos que podem ser descritos usando uma quantidade finita dos símbolos "", "{ }" e vírgula).[1] Para eliminar esses casos triviais, alguns autores exigem que o conjunto ℕ = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, …} dos ordinais finitos pertença a U.[2]

O axioma de universos diz que, para todo conjunto x, existe universo de Grothendieck U tal que xU.[3]

Propriedades

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Cada universo de Grothendieck U também satisfaz:

  • Se x, yU, a dupla (x, y) (definida na teoria de conjuntos como {{x}, {x, y}}) pertence a U.
  • Se xU e yx, yU.
  • Se XU e YU, X × YU.[1]

Cada universo de Grothendieck incluindo é um ∈-modelo para os axiomas de Zermelo-Fraenkel, de modo que sua existência não pode ser demonstrada por estes axiomas.[2]

Referências

  1. a b (SGA4-1, §II, apêndice)
  2. a b (Grothendieck universe – Nlab)
  3. (SGA4-1, §I.0)

Bibliografia

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