Usuário(a):Dvrj/Parâmetro de Grüneisen
O parâmetro Grüneisen, γ, em homenagem a Eduard Grüneisen, descreve o efeito que a alteração do volume de uma rede cristalina tem em suas propriedades vibracionais e, como consequência, o efeito que a mudança de temperatura tem no tamanho ou na dinâmica da rede cristalina . O termo é normalmente reservado para descrever a propriedade termodinâmica única γ, que é uma média ponderada dos muitos parâmetros separados γi entram na formulação original de Grüneisen em termos das não linearidades do fônon. [1]
Definições termodinâmicas
editarEm razão das equivalências entre muitas propriedades e derivados dentro da termodinâmica (ver Relações de Maxwell ), existem muitas formulações do parâmetro Grüneisen que são igualmente válidas, levando a várias interpretações distintas, porém corretas de seu significado.
Algumas formulações para o parâmetro Grüneisen incluem:
onde V é o volume, e são as principais capacidades (por massa) de calor a pressão e volume constantes, E é energia, S é entropia, α é o coeficiente de expansão térmica de volume, e são os módulos bulk adiabático e isotérmico, é a velocidade do som no meio e ρ é a densidade. O parâmetro Grüneisen não tem dimensão.
Constante de Grüneisen para cristais perfeitos com interações de pares
editarA expressão para a constante de Grüneisen de um cristal perfeito com interações de pares em o espaço dimensional tem a forma: [2]
Onde é o potencial interatômico, é a distância de equilíbrio, é a dimensionalidade do espaço. As relações entre a constante de Grüneisen e os parâmetros dos potenciais de Lennard-Jones, Morse e Mie [3] são apresentadas na tabela a seguir.
Malha | Dimensionalidade | Potencial de Lennard-Jones | Potencial Mie | Potencial Morse |
---|---|---|---|---|
Corrente | ||||
Estrutura triangular | ||||
FCC, BCC | ||||
"Hyper rede" | ||||
Fórmula geral |
A expressão para a constante de Grüneisen de uma cadeia 1D com potencial Mie coincide exatamente com os resultados de MacDonald e Roy. [4] Usando a relação entre o parâmetro de Grüneisen e o potencial interatômico, pode-se derivar a condição simples necessária e suficiente para a Expansão Térmica Negativa em cristais perfeitos com interações de pares
Uma descrição adequada do parâmetro Grüneisen representa um teste rigoroso para qualquer tipo de potencial interatômico. [5]
Definição microscópica por meio das frequências de fônons
editarO significado físico do parâmetro também pode ser estendido combinando termodinâmica com um modelo microfísico razoável para os átomos vibrando dentro de um cristal. Quando a força restauradora que atua sobre um átomo deslocado de sua posição de equilíbrio é linear no deslocamento do átomo, as frequências ω i de fônons individuais não dependem do volume do cristal ou da presença de outros fônons e da expansão térmica (e portanto, γ) é zero. Quando a força restauradora é não linear no deslocamento, as frequências de fônons ω i mudam com o volume . O parâmetro Grüneisen de um modo vibracional individual pode então ser definido como (o negativo de) a derivada logarítmica da frequência correspondente :
Relação entre modelos microscópicos e termodinâmicos
editarUsando a aproximação quase-harmónica para vibrações atómicas, o parâmetro Gruneisen macroscópica γ pode estar relacionado com a descrição de como as frequências de vibração ( fônons ) dentro de um cristal são alterados com a mudança de volume (isto é, γi 's). Por exemplo, pode-se mostrar que
se um define como a média ponderada
Onde são as contribuições do modo vibracional parcial para a capacidade de calor, de modo que
Prova
editarPara provar esta relação, é mais fácil introduzir a capacidade de calor por partícula ; então se pode escrever
.
Dessa forma, basta comprovar
.
Lado esquerdo (def):
Lado direito (def):
Além disso, pelas relações de Maxwell:
Assim
Esta derivada é direta de determinar na aproximação quase-harmônica, já que apenas os ωi são dependentes de V.
Isso produz
Veja também
editarlinks externos
editarReferências
editarReferências
- ↑ Grüneisen, E. (1912), «Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente», Annalen der Physik, 344 (12): 257–306, Bibcode:1912AnP...344..257G, doi:10.1002/andp.19123441202
- ↑ Krivtsov, A.M.; Kuzkin, V.A. (2011), «Derivation of Equations of State for Ideal Crystals of Simple Structure», Mechanics of Solids, 46 (3): 387–399, Bibcode:2011MeSol..46..387K, doi:10.3103/S002565441103006X
- ↑ «Mie potential page on SklogWiki - a wiki for statistical mechanics and thermodynamics». www.sklogwiki.org. Consultado em 19 de novembro de 2019
- ↑ MacDonald, D. K. C.; Roy, S.K. (1955), «Vibrational Anharmonicity and Lattice Thermal Properties. II», Phys. Rev., 97 (3): 673–676, Bibcode:1955PhRv...97..673M, doi:10.1103/PhysRev.97.673
- ↑ Porter, L. J.; Justo, J. F.; Yip, S. (1997). «The importance of Grüneisen parameters in developing interatomic potentials». J. Appl. Phys. 82: 5378–5381. doi:10.1063/1.366305
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