Potencial Morse

modelo de interação interatômica

O potencial Morse, nomeado em homenagem a Philip M. Morse, é um conveniente modelo de interação interatômica[1][2] para a energia potencial de uma molécula diatômica. O potencial Morse também pode ser usado para modelar outras interações, como a interação entre um átomo e uma superfície.

Potencial Morse (azul) e potencial do oscilador harmônico (verde). Ao contrário dos níveis de energia do potencial do oscilador harmônico, que são espaçados uniformemente por ħω, o espaçamento de nível de potencial Morse diminui à medida que a energia se aproxima da energia de dissociação. A energia de dissociação De é maior do que a energia verdadeira necessária para a dissociação D0 devido à energia do ponto zero do nível vibratório (v = 0) mais baixo.

Estados e energias vibratórias

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Como o oscilador harmônico quântico, as energias e os estados independentes do potencial Morse podem ser encontrados usando os métodos do operador.[3] Uma abordagem envolve a aplicação do método de factorização ao hamiltoniano.

Para escrever os estados estacionários[4] sobre o potencial Morse, isto é, as soluções   e   da seguinte equação de Schrödinger:

 

é conveniente introduzir as novas variáveis:

 

Em seguida, a equação de Schrödinger toma a forma simples:

 
 


Os seus autovalores e auto estados podem ser escritos como:[5]

 
 

onde   e   é um polinômio de Laguerre generalizado:

 

Existe também a seguinte expressão analítica importante para os elementos matriz do operador de coordenadas (aqui presume-se que   e  ) [6]

 

As auto energias nas variáveis iniciais têm forma:

 

onde   é o número quântico vibratório, e   tem unidades de frequência e está matematicamente relacionado à massa de partículas,   e as constantes Morse via

 

Considerando que o espaçamento de energia entre os níveis de vibração no oscilador harmônico quântico é constante em  , a energia entre os níveis adjacentes diminui com o aumento do   no oscilador de Morse. Matematicamente, o espaçamento dos níveis Morse é

 

Esta tendência corresponde à anarmonicidade encontrada em moléculas reais. No entanto, esta equação falha acima de algum valor de   onde   é calculado como zero ou negativo. Especificamente,

 

Essa falha é devido ao número "finito" de níveis vinculados no potencial Morse, e um máximo de   que permanece vinculado. Para as energias acima  , todos os níveis de energia possíveis são permitidos e a equação para   não é mais válida.


Abaixo de  ,   é uma aproximação para a verdadeira estrutura vibratória em moléculas diatômicas não rotativas. Na verdade, os espectros moleculares reais são geralmente adequados à forma1

 

em que as constantes   e   podem estar diretamente relacionadas aos parâmetros para o potencial Morse.

Como é claro a partir de análise dimensional, por razões históricas, a última equação usa notação espectroscópica em que   representa um número de onda obedecendo a   e não uma frequência angular dada por  .

Referências

  1. M. P. Allen and D. J. Tildesley. Computer Simulation of Liquids. Oxford University Press, Oxford, England, 1989.
  2. Daan Frenkel and Berend Smit. Understanding molecular simulation: from algorithms to applications. Academic Press, San Diego, second edition, 2002.
  3. F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, Supersymmetry in Quantum Mechanics, World Scientific, 2001, Table 4.1
  4. Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9
  5. Dahl, J.P.; Springborg, M. (1988). «The Morse Oscillator in Position Space, Momentum Space, and Phase Space». J. Chem. Phys. 88: 4535. Bibcode:1988JChPh..88.4535D. doi:10.1063/1.453761 
  6. E. F. Lima and J. E. M. Hornos, "Matrix Elements for the Morse Potential Under an External Field", J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 38, pp. 815-825 (2005)


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