Usuário(a):Dwsp123/Teorema da multiplicação

Teorema da multiplicação Em matemática, o teorema da multiplicação é um tipo de identidade obedecida por muitas funções especiais relacionadas com a função gama. Para o caso explícito da função gama, a identidade é um produto de valores; por isso o nome. Essas relações provém do mesmo princípio: Uma função especial pode ser obtida a partir de outras, e são simplesmente uma manifestação da mesma identidades em diferentes formas.

Característica finita

O teorema da multiplicação possui dois casos comuns. No primeiro caso, um número finito de termos são somados ou multiplicação de forma a se obter uma relação. E no segundo caso, um número infinito de termos são somados ou multiplicados. A forma finita tipicamente ocorre apenas para a função gama e funções semelhantes. Por exemplo, o teorema da multiplicação da função gama é obtido a partir da Fórmula de Chowla-Selberg.

A seguir, é exibida algumas das muitas aparições do teorema da multiplicação, para o caso de característica finita; e ao final, é mostrado casos com relações de característica zero. Em todos os casos, n e k são números inteiros e não-negativos. Para o caso em que n= 2, o teorema é comumente referido como fórmula de duplicação.

Função gama

A fórmula de duplicação e o teorema da multiplicação para a função gama são exemplos protótipos. A fórmula de duplicação para a função gama é

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).$

Também chamada de fórmula de duplicação de Legendre ou relação de Legendre, em honra a Adrien-Marie Legendre. O teorema da multiplicação é

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{1/2-kz}\;\Gamma (kz)$

para um inteiro k ≥ 1, é as vezes chamada de fórmula de multiplicação de Gauss em honra a Carl Friedrich Gauss.

Função poligama, números harmônicos

A função poligama é a derivada logarítmica da função gama, e portanto, o teorema da multiplicação passa a ser aditivo e não multiplicativo, devido as relações entre soma e multiplicação de um logaritmo:

$k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

para $m>1$, e, para $m=1$, obtemos a função digama:

$k\left[\psi (kz)-\log(k)\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).$

As identidades da função poligama podem ser usadas para se obter um teorema da multiplicação para os números harmônicos.

References

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (Multiplication theorems are individually listed chapter by chapter)
• C. Truesdell, "On the Addition and Multiplication Theorems for the Special Functions", Proceedings of the National Academy of Sciences, Mathematics, (1950) pp. 752–757.