Derivada logarítmica

Na matemática, especificamente cálculo e análise complexa, a derivada logarítmica de uma função é definida pela fórmula:

${\frac {f'}{f}}\!$, onde $f'$ é a derivada de $f$

Nestas condições, muitas propriedades básicas do logaritmo também são válidas para essa condição, ainda quando a função não toma valores reais positivos. Algumas destas identidades são:

$(\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.\!$

${\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.\!$

${\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},\!$

Demonstração da derivada logarítmica

Considerando uma função logarítmica do logaritmo natural $f(x)=\ln(x)$, vamos provar que sua derivada é a $f'(x)={\frac {1}{x}}$.

O logaritmo natural de t é a área hachurada do gráfico da função f(x) = 1/x.

Utilizando o conceito de derivada, temos que:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}$

Uma das propriedades dos logaritmos transforma uma diferença de logaritmos em quociente, assim:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)$

Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmo fazemos:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)^{1/h}$

$f'(x)=\lim _{h\to 0}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{1/h}$

Aplicando uma mudança de variável

${\frac {h}{x}}=t$ → $h=xt$

Observamos que, quando h→0, então t→0. Essa troca é equivalente e não altera o limite. Desta forma:

$f'(x)=\lim _{t\to 0}\ln(1+t)^{1/xt}$

$f'(x)=\lim _{t\to 0}[\ln(1+t)^{1/t}]^{1/x}$

No entanto, do limite fundamental exponencial, sabemos que

$\lim _{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e$

Logo:

$f'(x)=\ln(e)^{1/x}={\frac {1}{x}}\ln(e)$

Mas, $\ln(e)=1$ , portanto :

$f'(x)={\frac {1}{x}}.$