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Guias de onda são estruturas que direcionam a propagação de ondas, sejam estas sonoras ou eletromagnéticas, sendo a discussão deste artigo sobre as do último tipo.

Essas guias são, de forma geral, cilindros metálicos ocos usados na transmissão de ondas eletromagnéticas de alta energia. No caso em que possuem seção transversal constante, são denominadas guias de onda uniformes, sendo a guia de onda circular aquela cuja seção é um círculo.

Aplicações

As utilizações de guias de onda precedem a cunhagem do próprio nome ou o estudo analítico de suas propriedades. O fenômeno de transmissão de sinais através de canos ocos deu origem à aparatos como estetoscópios.

Estes elementos também são usados na transmissão de energia entre componentes de sistemas como rádios, ou aparelhos ópticos ou de radar.

Alguns exemplos mais específicos incluem:

• Fibras ópticas: Transmitem luz e sinais por longas distâncias com altas taxas de sinal.
• Forno de microondas: Uma guia de ondas transmite potência do magnetron, onde as ondas são originadas, para a câmara de cozimento.
• Radares: Uma guia de onda transmite energias da ordem de frequências de rádio para e de uma antena, onde a impedância precisa atingir um determinado valor que permite a transmissão.
• Guias de onda são usadas em instrumentos científicos para medir propriedades ópticas, acústicas e elásticas de objetos, por exemplo, sendo colocadas em contato com o espécime estudado, como no caso da Ultrasonografia Médica.

História

A proposição inicial, seguida do estudo matemático e experimental das guias de onda se deu ao redor do final do século XIX . O Barão de Rayleigh, John William Strutt, publicou uma análise sobre a propagação de ondas eletromagnéticas em guias de onda circulares e retangulares preenchidas por um meio dielétrico, em 1897. Um estudo sobre a propagação de ondas em um cilindro dielétrico foi feito por Demetrius Hondros e Peter Debye em 1910. Em 1936, Carson, Mead, Schelkunoff e Southworth, do Bell Telephone Laboratories, forneceram resultados analíticos e empíricos em diferentes publicações..

Uma grande evolução no estudo teórico e experimental sobre a utilização das guias como elementos práticos de comunicação foi observada no período de 1936 à 1940, porém, o estado atual de conhecimento sobre este assunto é devido em maior parte ao esforço conjunto de matemáticos, físicos e engenheiros que trabalhavam em campo durante a segunda guerra mundial. A necessidade de radares que operassem em frequências de microondas implicou uma alta prioridade para análises de guias de ondas e aparelhos que fizessem uso delas, como forma de substituir os sistemas de baixas frequências que convencionalmente predominavam. Simultaneamente, a busca por descrições matemáticas de diferentes soluções para problemas de condição de contorno complicadas se tornou imperativa.

Campos elétrico e magnético

Consideremos que ondas eletromagnéticas de frequencia $\omega$ estejam se propagando em uma guia de onda cilíndrica de raio $a$, preenchido por um meio linear sem perdas, de parâmetros constitutivos(permissividade elétrica e permeabilidade magnética, respectivamente) $\mu ,\epsilon$ e sem a presença de fontes (implicando a densidade de carga $\rho$ e a densidade de corrente ${\vec {J}}$ que aparecem nas equações de maxwell serem iguais a $0$). Esse material é delimitado por uma casca cilíndrica condutora perfeita. As descrições serão feitas em termos de coordenadas cilíndricas $(r,\phi ,z)$.

Desejamos obter as componentes dos campos elétrico, ${\vec {E}}$, e magnético, ${\vec {B}}$, dadas por:

${\vec {E}}=E_{r}{\hat {r}}+E_{\phi }{\hat {\phi }}+E_{z}{\hat {z}}$

${\vec {H}}=H_{r}{\hat {r}}+H_{\phi }{\hat {\phi }}+H_{z}{\hat {z}}$

Que são governadas pelas equações de onda de Helmoltz (obtidas das equações de Maxwell para meios materiais):

$\nabla ^{2}{\vec {E}}+\omega ^{2}\mu \epsilon {\vec {E}}=0$

$\nabla ^{2}{\vec {H}}+\omega ^{2}\mu \epsilon {\vec {H}}=0$

Como estamos considerando ondas monocromáticas se propagando na direção ${\hat {z}}$, temos que:

${\vec {E}}(r,\phi ,z,t)={\vec {E^{0}}}(r,\phi ,z)e^{j\omega t-\gamma z}$

${\vec {H}}(r,\phi ,z,t)={\vec {H^{0}}}(r,\phi ,z)e^{j\omega t-\gamma z}$

$\gamma =\alpha +i\beta$

Substituindo essas expressões nas equações de Helmholtz, obtemos:

$\nabla _{r\phi }^{2}{\vec {E^{0}}}+k_{c}^{2}{\vec {E^{0}}}=0$

$\nabla _{r\phi }^{2}{\vec {H^{0}}}+k_{c}^{2}{\vec {H^{0}}}=0$

$k_{c}^{2}=\gamma ^{2}+\omega ^{2}\mu \epsilon$

O tratamento com o laplaciano vetorial em coordenadas cilíndricas fornece seis expressões complicadas e extensas (uma para cada componente dos campos elétrico e magnético), que não são independentes uma da outra. Porém, das equações de Maxwell, temos:

$\nabla \times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-j\omega \mu {\vec {H}}$

$\nabla \times {\vec {H}}=\epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=j\omega \epsilon {\vec {E}}$

$\therefore$
$teste={\frac {teste^{2}}{teste}}$

$H_{r}^{0}={\frac {1}{k_{c}^{2}}}(\gamma {\frac {\partial H_{z}^{0}}{\partial r}}-{\frac {j\omega \epsilon }{r}}{\frac {\partial E_{z}^{0}}{\partial \phi }})$

$H_{\phi }^{0}={\frac {1}{k_{c}^{2}}}({\frac {\gamma }{r}}{\frac {\partial H_{z}^{0}}{\partial \phi }}+{j\omega \epsilon }{\frac {\partial E_{z}^{0}}{\partial r}})$

$E_{r}^{0}={\frac {1}{k_{c}^{2}}}(\gamma {\frac {\partial E_{z}^{0}}{\partial r}}+{\frac {j\omega \mu }{r}}{\frac {\partial H_{z}^{0}}{\partial \phi }})$

$E_{\phi }^{0}={\frac {1}{k_{c}^{2}}}({\frac {\gamma }{r}}{\frac {\partial E_{z}^{0}}{\partial \phi }}-{j\omega \mu }{\frac {\partial H_{z}^{0}}{\partial r}})$

Estas equações fornecem as componentes que desejamos, desde que tenhamos as componentes longitudinais $z$. Vemos então que podemos usar as equações de Helmholtz apenas para obter essas componentes, o que equivale a tomar apenas o resultado de aplicar os laplacianos nas componentes longitudinais, simplificando bastante o cálculo uma vez que agora $\nabla _{r\phi }^{2}$ será simplesmente o laplaciano escalar sobre as variáveis radiais e angulares. Isto é:

$\nabla _{r\phi }^{2}E_{z}^{0}+k_{c}^{2}E_{z}^{0}=0$

$\nabla _{r\phi }^{2}H_{z}^{0}+k_{c}^{2}H_{z}^{0}=0$

$\nabla _{r\phi }^{2}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial }{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}$

Como as equações para $E_{z}^{0}$ e $H_{z}^{0}$ são similares, continuaremos resolvendo para $E_{z}^{0}$, e sabemos que a solução para o outro caso será equivalente. Seguimos usando o método da separação de variáveis, com $E_{z}^{0}=R(r)\Phi (\phi )Z(z)$:

$\nabla _{r\phi }^{2}E_{z}^{0}+k_{c}^{2}E_{z}^{0}=0\Rightarrow$

$\Rightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial E_{z}^{0}}{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E_{z}^{0}}{\partial \phi ^{2}}}+k_{c}^{2}E_{z}^{0}=0\Rightarrow$

$\Rightarrow FR''Z+{\frac {1}{r}}R'FZ+{\frac {R}{r^{2}}}F''k_{c}^{2}RFZ=0\Rightarrow$

$\Rightarrow r^{2}{\frac {R''}{R}}+r{\frac {R'}{R}}+{\frac {F''}{F}}=0$

Tomando n² como constante de separação para a parte radial, temos que a constante de separação para a parte angular será -n². Ou seja:

$R''+{\frac {1}{r}}R'+(k_{c}^{2}-{\frac {n^{2}}{r^{2}}})R=0$

$F''+n^{2}F=0$

Que são duas equações diferenciais de soluções conhecidas, sendo a primeira a equação diferencial ordinária de Bessel, cuja solução é uma combinação de funções de bessel ordinárias ordem n de primeiro tipo, $J_{n}$, e funções de Neumman ordinárias de ordem n, $N_{n}$ de segundo tipo. Isto é:

$\Phi (\phi )=Acos(n\phi )+Bsen(n\phi )$

$R(r)=CJ_{n}(k_{c}r)+DH_{n}(k_{c}r)$

Sendo $A,B,C,D$ constantes relacionadas com as condições de contorno.

Como os valores dos campos devem ser finitos na origem, temos, pelas propriedades de $N_{n}$, que $D=0\Rightarrow R(r)=CJ_{n}(k_{c}r)$.

Com uma escolha conveniente da origem de $\phi$, podemos também escrever que $\Phi (\phi )=Bcos(n\phi )$

Podemos também aglutinar as constantes $B$ e $C$ em uma constante $C_{n}$.

Podem-se definir os modos TM, TE e TEM, que correspondem aos casos $H_{z}^{0}=0,E_{z}^{0}=0$ e $H_{z}^{0}=E_{z}^{0}=0$, respectivamente.

Condição de contorno

Temos que os campos elétricos tangentes à parede condutora devem ser iguais a zero:

$E_{\parallel }|_{r=a}=0$

Modo TM

Neste caso:

$H_{z}^{0}=0$

$E_{\parallel }|_{r=a}=E_{z}^{0}(a)=0$

Como vimos, isso implica:

$C_{n}J_{n}(k_{c}a)cos(n\phi )e^{-\gamma z}=0\Rightarrow J_{n}(k_{c}a)=0$

Definindo $p_{nl}$ como sendo as raízes da função de bessel, temos que:

$k_{c}={\frac {p_{nl}}{a}}$

Sendo que os valores dessas raízes são tabelados e disponíveis em diversos livros, sites e softwares. Os valores de $p_{nl}$ determinam então os modos normais para o caso TM, os quais são normalmente conhecidos como TM_nl.

Modo TE

Neste caso:

$E_{z}^{0}=0$

$E_{\parallel }|_{r=a}=E_{\phi }^{0}(a)=0$

Usando nossos resultados anteriores, temos:

$H_{z}^{0}=C'_{n}J_{n}(k_{c}a)cos(n\phi )e^{-\gamma z}$

$E_{\phi }^{0}={\frac {1}{k_{c}^{2}}}({\frac {\gamma }{r}}{\frac {\partial E_{z}^{0}}{\partial \phi }}-{j\omega \mu }{\frac {\partial H_{z}^{0}}{\partial r}})$

$\therefore$

$E_{\phi }^{0}(a)={\frac {j\omega \mu }{k_{c}}}C'_{n}J'_{n}(k_{c}a)cos(n\phi )=0\Rightarrow J'_{n}(k_{c}a)=0$

Sendo $C'n$ uma constante complexa associada com as condições de contorno e $J'n$ a primeira derivada da função de bessel ordinária do primeiro tipo.

Definindo $p'_{nl}$ como sendo as raízes da derivada da função de bessel, temos que:

$k_{c}={\frac {p'_{nl}}{a}}$

Sendo que os valores dessas raízes são também tabelados e disponíveis em diversos livros, sites e softwares. Os valores de $p'_{nl}$ determinam então os modos normais para o caso TE, os quais são normalmente conhecidos como TE_nl.

Modo TEM

Neste caso $E_{z}^{0}=H_{z}^{0}=0$. Aplicando isso na Lei de Gauss e na Lei de Faraday, notamos que ${\vec {E}}$ tem divergente e rotacional nulos, e portanto pode ser escrito como o gradiente de um potencial escalar que satisfaz a equação de laplace. Porém esta equação não admite máximos ou mínimos locais, e as condições de contorno requerem que a parede externa condutora seja equipotencial, de forma que o potencial deve ser constante em toda a região da guia de onda, e ${\vec {E}}=0$, e não há propagação de ondas TEM. Foi feita a consideração de que não há nenhum segundo condutor dentro do primeiro que pudesse alterar o potencial no interior da guia de onda. Nos casos em que isso ocorre, como nas guias de onda coaxiais e bifibrilares, é possível observar modos TEM.