Usuário:MarcioBrener/Testes


Propriedades matemáticasEditar

ExponenciaçãoEditar

 

 

 

 

 

 

LogarítmoEditar

PropriedadesEditar

 

 


 

 

 

 

 

 

 


Questão exemplo: Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do mesmo. Considere que, em determinado lago, a intensidade y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função  , onde   representa a intensidade da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade da luz corresponde a   (considerando  ).

 
 
 
 

MatemáticaEditar

Báskara ou Equação QuadráticaEditar

 
 
 

Soma e Produto

Somente é possível quando  
 
 
 

Exemplo:

 

Conjuntos (Diagrama de Veen Euler)Editar

A intersecção dos conjuntos A = [-2, 5] e B = [3, 6 ] é o conjunto C, tal que: C tem infinitos valores.

Atenção: quando os valores são dados em colchetes[], não se trata de elementos, mas sim de intervalo, portanto, a questão implicitamente representa A (intervalo de infinitos valores entre -2 e 5) e B (infinitos valores entre 3, 6).

AdiçãoEditar

 

SubconjuntosEditar

O número de subconjuntos de um conjunto com   elementos é  .

Exemplo 1Editar

Os conjuntos P e Q têm p e q elementos, respectivamente, com  . Sabendo-se que a razão entre o número de subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32, quanto vale o produto pq?

O conjunto   possui   subconjuntos.
O conjunto   possui   subconjuntos.
 
 
 
 

Exemplo 2Editar

Um conjunto possui 36 subconjuntos de dois elementos. Quantos subconjuntos de três elementos possui esse conjunto?  

Fórmulas:  
 
ou pelo método completo:
 
Resolvendo por Báskara: n = {1 ± √ [ (-1)² - 4(1)(-72) ] } / 2(1) = n = {1 ± 17 } / 2 = [1 + 17 / 2; 9]

Só interessa 9 que é inteiro, então, C(9,3) =  

Regra de três simples e composta, proporcionalidades e porcentagensEditar

Regra de três compostaEditar

ProporcionalidesEditar

PorcentagensEditar

Contagens & ProgressõesEditar

Fórmula do termo geral da PAEditar

 

Soma de termosEditar

 

Fórmula do termo geral da PGEditar

 

Soma de termosEditar

 

Somatório de nEditar

 

Matrizes & DeterminantesEditar

  • Uma matriz é dita quadrada quanto seu número de colunas é igual ao seu número de linhas, ou seja,  .
 


  • Determinando que a diagonal principal de uma matriz

 .

 
 

Determinantes (regra de Sarrus)Editar

  • Propriedades:
 

Veja exemplo: Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Transpetro Prova: Técnico de Administração e Controle Júnior

Sistemas linearesEditar

  • Propriedades:
Reta quando determinante = 0 (zero)
 
 
  • Propriedades
Quando determinante 0 (zero), trata-se de uma reta; senão, possível e determinável.

Funções de 1º e 2º grauEditar

Função de 1º grauEditar

  • Definida pela equação da reta  , onde   é o Coeficiente Angular (CA) e o   é o Coeficiente Linear.
  • A partir de dois pontos A e B, onde cada ponto é representado por (x, y), tem-se  
  •   é o ponto onde a reta toca o eixo   e  

Função de 2º grauEditar

  • Definida pela equação da parábola  , denotada por   onde   são os pontos da parábola que cruzam o eixo  , sendo   o ponto onde a parábola cruza o eixo  , e   é o Coeficiente Angular.
  • O vértice da parábola é dado por  

Matemática FinanceiraEditar

Fator de rendimentoEditar

 

 

 

 

 

Juros simplesEditar

 

Juros compostosEditar

 

Regra 2 períodosEditar

Sempre  

 

Regra do 72Editar

Pela regra do 72 estima-se que um capital dobra à fracão de  , portanto:  

PriceEditar

 

ou

 

A equação   é chamada de Fator de Recuperação de Capital.

O Valor Presente (Present Value) a partir da prestação é dado por:  .

Price Expressão equivalenteEditar

A fórmula de cálculo para a parcela em Price é equivalente às somas das capitalizações no tempo, conforme as expressões a seguir:

 

Demonstração: tomando por base o exemplo anterior, onde o montante de $ 1.000,00 à taxa de 3% a.m., durante 4 meses, resultando na parcela de $ 269,03 ao mês, a soma das capitalizações dessas parcelas se dá conforme a seguir:

 

Taxas de juros nominal, efetiva, equivalente, real e aparenteEditar

Taxa nominalEditar

Taxa de juro de referência para um horizonte de tempo que compreende múltiplos períodos de capitalização.

Taxa proporcionalEditar

Uma taxa proporcional de juro se refere à capitalização por juros simples.

 

Exemplo:

0,5% capitalizado mensalmente é proporcional a 6% ao ano.

Taxa EfetivaEditar

 

ou

 

Onde:

  •  : taxa efetiva procurada;
  •  : taxa nominal;
  •  : número de capitalizações da taxa apresentada;
  •  : razão entre o número de capitalizações maior e menor, ou seja, o número de vezes que o tempo menor cabe no maior.

Exemplo:

Sendo a taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal, a expressão matemática da taxa efetiva bimensal é
 
Uma pessoa aplicou determinado capital durante cinco meses à taxa de juros simples de 4% ao mês, para saldar uma dívida de $ 12.000,00, quatro meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. Nessa situação, a taxa mensal efetiva para o desconto comercial foi de:
 

Taxa RealEditar

 

Onde:

  •  : taxa Aparente;
  •  : taxa Real;
  •  : taxa de Inflação.
Q545738 Q30391

Capitalização e descontoEditar

CapitalizaçãoEditar

Capitalizando →  

DescapitalizaçãoEditar

Descapitalizando →  
Importante: quando na capitalização há também juros incidentes sobre o último depósito/investimento, então, na descapitalização basta aplicar a fórmula de juros compostos para se obter o valor da anuidade ( ). Exemplo:  .

TIREditar

Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$ 120,00, onde i corresponde à taxa de juros:

 
Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20%

Exemplo: A empresa X vai contratar a empresa Y para realizar um serviço no valor total de 10 milhões de reais. Tal valor será pago em três parcelas, cujos percentuais do valor total do serviço estão apresentados a seguir:

Parcela 1 – 17,5% no ato da contratação;
Parcela 2 – 22,0% para 12 meses após a assinatura do contrato;
Parcela 3 – 60,5% para 24 meses após a assinatura do contrato.
Qual é o valor atual desse contrato para a empresa X, considerando-se uma taxa mínima de atratividade de 10% a.a.?
 
 
 

Desconto Comercial Simples ou por foraEditar

 

Desconto Comercial CompostoEditar

O valor Atual ( ) se obtém pela seguinte do Desconto Comercial Composto:

 

Desconto Racional SimplesEditar

 

Desconto Racional CompostoEditar

 

Amortização na Tabela PriceEditar

 

ou

 

Sistema de Amortização MistoEditar

Formação da parcela:  

Taxa equivalenteEditar

 

Atualização MonetáriaEditar

 

Exemplo

Dado que um valor no dia de seu vencimento era de $ 100,00, e tinha conforme a tabela de atualização monetária o índice de 49,768770 e na data do pagamento o índice é 54,527049. Qual é o valor atualizado?
 

Exemplo com juros

Dado dado o exemplo anterior, sendo de 3 meses, mais juros de 1% ao mês (lembrando que se aplica juros simples).
 

Ver: Aprenda a fazer atualização monetária - TJ/SP

ProbabilidadeEditar

Combinação simplesEditar

 

  • Na combinação  

Exemplo

Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com um grupo de 10 pessoas?
 

Combinação com repetiçãoEditar

Quando a ordem não importa, mas cada objeto pode ser escolhido mais de uma vez, o número de combinações é

 

Exemplo

Uma pessoa dispõe de balas de hortelã, de caramelo e de coco e pretende “montar” saquinhos com 13 balas cada, de modo que, em cada saquinho, haja, no mínimo, três balas de cada sabor. Um saquinho diferencia-se de outro pela quantidade de balas de cada sabor. Por exemplo, seis balas de hortelã, quatro de coco e três de caramelo compõem um saquinho diferente de outro que contenha seis balas de coco, quatro de hortelã e três de caramelo. Sendo assim, quantos saquinhos diferentes podem ser "montados"?
Como é necessário que cada saquinho tenha 3 balas de cada sabor, então, haverão 9 balas já definidas, restando apenas um espaço de combinação  para 4 balas, ao qual se pode escolher de qualquer maneira umas das 3  amostras de sabor.

 

Arranjo simplesEditar

 

  • Em arranjo  

Uso

Exemplo: Num grupo de 10 pessoas quantas chapas diferentes com Presidente, Tesoureiro e Secretário?

 

Permutação com RepetiçãoEditar

 

Exemplo: anagramas da palavra BANANA

 

Permutação CircularEditar

 

ou

 

Problema de quantas maneiras seria possível sentar numa mesa de n lugares.

Arranjo com repetiçãoEditar

 

Exemplo:

Um sistema operacional de computador permite atribuir nomes aos arquivos utilizando qualquer combinação de letras maiúsculas (A-Z) e de algarismos (0-9), mas o número de caracteres do nome do arquivo deve ser no máximo 8 (e deve haver ao menos um caractere no nome do arquivo). São exemplos de nomes válidos: Y56, G, 8JJ e FGHI7890. São exemplos de nomes inválidos B*32 (por ter um caractere não permitido) e CLARINETE (por possuir mais do que 8 caracteres (SCHEINERMAN, 2015, adaptado).

Podem ser utilizados um total de 36 caracteres, sendo 26 letras e 10 algarismos. Como a ordem dos caracteres é relevante (alterando a ordem dos caracteres obtém-se nomes diferentes), trata-se de um problema de listas. Ficou estabelecido o número máximo de caracteres igual a 8 e o número mínimo de caracteres igual a 1. Logo, para cada palavra com n caracteres, tem-se 36n possibilidades. Portanto, a quantidade possível de nomes de arquivos diferentes nesse sistema operacional é determinada por:

 

Somatória regressivaEditar

 

Exemplo

Dado qualquer número a soma sucessiva decremental (-1) até 1 se aplica à fórmula.
 
 

Combinação CircularEditar

 

Exemplo

Em uma reunião com 5 pessoas em que cada pessoa cumprimenta a outra quanto apertos de mão serão realizados. Ou, em um capeonato com 5 times em que cada time enfreta os demais, quantas serão as partidas realizadas?  
 

Mais detalhes: é possível também o resultado a partir da expressão  , contudo, em situações onde se tenha o número final de combinações e se deseja saber o valor   inicial, se torna mais difícil a descoberta do número fatorial adequado. Veja:

Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os outros com um aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas havia reunião se foram trocados   apertos de mão?
 
Nesse caso, para rápida solução considerar o valor do   da equação  

Conceitos e definições de probabilidadeEditar

Dois eventos   e   são ditos independentes quando:

  •  , isto é, a probabilidade de   independe da probabilidade de  .
  •  
  •  
  •  , ou seja, a probilidade de   com a probabilidade de   são independentes até mesmo superando 100%.
  • Quando:  
Então:   são eventos disjuntos, mas não independentes.

Distribuição BinomialEditar

 
onde:
  é o número de tentativas;
  é a probabilidade de sucesso  ;
  é a probabilidade de fracasso  ;
  é o número de sucessos esperados.
 
 
Exemplo: Qual a probabilidade de se obter 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda?
 
 

DeduçõesEditar

Como a distribuição binomial corresponde à   experimentos de Bernoulli (Q25720), pode-se provar que:

 
 

Teorema de BayesEditar

 
 
 

Matemática FinanceiraEditar

Cálculo da inflação acumuladaEditar

Para se apurar a inflação acumulada em um certo período de tempo e dada pela fórmula matemática:

 
Onde:
  •   é a inflação do período 1 até o período  ;
  •   é o fator de inflação de cada período.


Exemplo

Tendo como base a inflação no Brasil do período de 2001 até 2005, conforme a tabela abaixo, qual é a inflação acumulada do período?

Ano Inflação
2001 7,67%
2002 12,53%
2003 9,3%
2004 7,6%
2005 5,69%

Cálculo:

   

Geometria plana - lados do triânguloEditar

PitágorasEditar

 
Um triângulo retângulo, de catetos a e b, e de hipotenusa c.

Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:

 

Área do triânguloEditar

 

Base (b) * (h) Altura.

Área do quadradoEditar

 

Centro do triângulo equiláteroEditar

https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/questao/3fa7b21d-63

 

Diagonal do quadradoEditar

 

CírculoEditar

 

 

 

Área do círculoEditar

 

Volume cúbicoEditar

 

VérticeEditar

O cálculo do vértice possibilita verificar qual a maior área disponível a partir de uma base dada.

 

Questão exemplo: Uma pessoa tem 80m de arame para cercar um terreno de forma retangular, sendo que um dos lados do terreno é um rio que não precisará de cerca de arame. Qual deve ser o valor de cada lado X para que o terreno cercado tenha a máxima área?
 


Questão

Volume do cilindroEditar

 

 

EstatísticaEditar

MédiaEditar

 

Desvio Médio

 

Estimativa de médiaEditar

 

Classes de rendimentos
mensaisem salários
Frequência
Relativa(%)
Sem rendimentos 10
Até 1 30
Mais de 1 a 2 30
Mais de 2 a 3 10
Mais de 3 a 5 10
Mais de 5 a 10 8
Mais de 10 a 20 2
Total 100

Qual é a estimativa de média da distribuição anterior?  

Bem, essa questão realmente é uma estimativa, porque a partir das amostras não há como afirmar com certeza o salário médio, haja vista haver intervalos entre as classes, daí a própria noção de estimativa dentro de uma faixa.

É importante notar que a distribuição apresentada traz apenas as frequências relativas da distribuição, ou seja, não ha como se afirmar os valores absolutos das amostras, apenas os relativos.

Para a apuração da média entre as classes será necessário determinar três novas colunas, quais sejam:

  1. Ponto médio de cada intervalo de classe  ;
  2. Ponto médio da frequência relativa  ;
  3. E por fim a que defina o produto dos médios  : média do intervalo( ) multiplicado pela média da frequência relativa( ).
Salário
 
Ponto médio da classe
 
Frequência relativa
 
Ponto médio
 
0 0 10 0
(0 ; 1] 0,5 30 15
(1 ; 2] 1,5 30 45
(2 ; 3] 2,5 10 40
(3 ; 5] 4 10 40
(5 ; 10] 7,5 8 60
(10 ; 20] 15 2 30
     
 

Média ponderadaEditar

 

Média móvelEditar

É a média  repetida/esperada para o próximo evento.

SazonalidadeEditar

A sazonalidade é determinada pela razão entre a amostra  observada e a média  das amostras:  .

Exemplo: um construtor nos meses x, y, e z, respectivamente, constrói 4, 4 e 2 casas. Qual é a sazonalidade do mês z?  

MedianaEditar

A mediana de um rol representa a amostra que está no ponto central, e quando a contagem dessa amostra resultar em um número par, a mediana será a média entre os 2 termos centrais.

 

Mediana, Média e ModaEditar

Em uma distribuição unimodal, sendo a mediana igual à média, não há garantia que a moda também seja igual à mediana e à média.

Mediana de uma frequência de classesEditar

A mediana se obtem pela interpolar dada por:

 


 
Intervalos   Frequência
Relativa  
Frequência
Relativa
Acumulada 
-3 -1 0,25 0,25
-1 1 0,40 0,65
1 3 0,25 0,90
3 5 0,10 1,00
  1,00 -

A mediana entre as classes se encontra onde a frequência atinge   da amostra, sendo o Limite Inferior entre as frequências a frequência antecessora àquela da classe  , e o Limite Superior o desta classe  .

Na distribuição dada, o Limite Superior das frequência é   e o Limite Inferior é a frequência anterior  .

 

Regra de Sturges para definição do número de classes  Editar

 

 

Exemplo
Determinar o número de classes e os intervalos entre elas dado um rol de n(a) = n(200), ou seja, 200 amostras:  .
 
 


Regra de Sturges para a construção de intervalos de classes

VariânciaEditar

Representada pelo símbolo   quando referente a uma amostra e   quando referente a uma população, ou mesmo  .

 
 
 
 
População região sul
Estado/Ano 2012 2013 2014
Paraná 10.577.755 10.997.465 11.081.692
Santa Catarina 6.383.286 6.634.254 6.727.148
Rio Grande do Sul 10.770.603 11.164.043 11.207.274
Total   27.731.644 28.795.762 29.016.114
Média   9.243.881 9.598.587 9.672.038

PropriedadesEditar

  • Uma constante  somada ou diminuída às observações não altera a  ;
  • Uma constante  que multiplica ou divide as observações deve também multiplicar ou dividir o seu quadrado  pela  , ou seja,   ou  .
  • Atenção: É diferente o resultado da variância das amostras em relação ao seu agrupamento multiplicado pelo peso/aparições.

Variância amostralEditar

 

Exemplo: Seja uma amostra aleatória simples extraída de uma população, com tamanho 10 e representada por; i = 1, 2, ... , 10. Sabe-se que   e   A variância dessa amostra apresenta o valor de:  
 

Distribuição NormalEditar

A partir de uma curva gausiana onde a média está no centro da curva há uma distribuição normal, a partir do centro, de:

 

Cuja probabilidade dada uma média  e o desvio padrão  é  . O   representa a distância a partir do centro da distribuição, portanto,  .

Exemplo: Estima-se que os retornos de um determinado mercado tenham distribuição normal, com média 20% e desvio padrão 10%. A probabilidade de perdas financeiras é de:  .
 
Nesse caso, o número de desvios é 0 (zero) porque 10% do desvio padrão está na área dentro do intervalo de  , assim não há deslocamento que supere   à esquerda (prejuízo). Então, como   denota que haverá deslocamento de 2 desvios padrão à esquerda, portanto, situando o desvio na posição  .
A   menos  , então,
 

Distribuição Normal por Regra EmpíricaEditar

A Regra Empírica infere que uma distribuição tem maior possibilidade dentro das Frequências Acumul  .

Considere que a média de peso de meninas de 1 ano de idade nos EUA é normalmente distribuída com uma média de cerca de 9,5kg e com um desvio padrão  aproximadamente de 1,1kg. Sem usar a calculadora, estime a quantidade de meninas de 1 ano de idade quem tenha as seguintes condições:
  • (a) Menos de 8,4kg:  
  • (b) Entre 7,3kg e 11,7kg:  
  • (c) Mais que 12,8kg:  

Amostra mínima por distribuição normalEditar

 
Exemplo:
Dado que: Z tem distribuição normal padrão, então:
 
Se t tem distribuição de Student com 3 graus de liberdade P(t > 1,638) = 0,10;
Se t tem distribuição de Student com 4 graus de liberdade P(t > 1,533) = 0,10.
A experiência com trabalhadores de uma certa indústria indica que o tempo requerido para que um trabalhador, aleatoriamente selecionado, realize um serviço, é distribuído de maneira aproximadamente normal com desvio padrão de 12 minutos. Deseja- se, por meio de uma amostra aleatória, com reposição, estimar a média populacional. O tamanho desta amostra, para que a diferença em valor absoluto entrverddddadeiro valor populacional e sua estimativa seja de no máximo 2 minutos, com probabilidade de 96%, é:  
 

Relação variância e covariânciaEditar

  Sendo que o Valor Esperado( ) é a Média( ).

  Q223620

 

 

 

 

Valor esperado e possibilidadeEditar

 

 

Bem como:

 

Exemplo

Quando um pesquisador vai a campo e aborda pessoas na rua para serem entrevistadas, o número de pessoas que aceita responder à pesquisa segue uma distribuição binomial.
Se o valor esperado dessa distribuição é 8, e sua variância é 1,6, então a probabilidade de uma pessoa aceitar responder à pesquisa é de  .

 

 

Q692042

Exemplo

Se X e Y são duas variáveis aleatórias, para as quais são definidas: E(X) e E(Y), suas esperanças matemáticas (expectâncias); Var(X) e Var(Y), suas respectivas variâncias, e Cov(X, Y), a covariância entre X e Y, quais- quer que sejam as distribuições de X e Y, tem-se que:
 

Q25718

Média e Variância de variável aleatóriaEditar

Para uma variável aleatória de distribuição uniforme ( ) no intervalo de   (onde   é o limite inferior e   é o limite superior), sua Frequência de Densidade de Probabilidade (FDP) será tal que:

 
 
Quando  

Exemplo (CGU – 2008/ESAF): Sendo X aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0; 1), determine sua variância:

 

Função de Probabilidade e DensidadeEditar

Encontrando o número de amostras/população dada a função de densidade.

 
Exemplo: Em um estudo sobre a economia informal de uma cidade, deseja-se determinar uma amostra para estimar o rendimento médio dessa população, com um grau de confiança de 95% de que a média da amostra aleatória extraída não difira de mais de R$ 50,00 da média do rendimento dessa população, cujo desvio padrão é R$ 400,00. Sabendo-se onde f(z) é a função de densidade de probabilidade com z = 1,96, pode-se concluir que o número de pessoas da amostra será:
 

Variância em função de N, P, QEditar

 

Exemplo

A variância de uma amostra com   observações ao qual a chance de insucesso é  , resulta em  .

 

Desvio padrãoEditar

É a raiz quadrada da Variância .

 

PropriedadesEditar

  • Uma constante  somada ou diminuída às observações não altera o  ;
  • Uma constante  que multiplica ou divide as observações deve também multiplicar ou dividir o  .

Coeficiente de variação ou covariânciaEditar

 

PercentisEditar

Posição na população:  

Posição na amostra:  

Exemplo: dado o rol  

 

Pela média

 

Pela interpolação

 

Pelo complemento

 

QuartisEditar

 

onde:

 

Exemplo

Qual é o 3º quartil da distribuição de frequência a seguir:  .
 
1º Passo é descobrir em que classe está o 3º Quartil, isto é,   ou   da frequência:
 
 
 

OutliersEditar

Os outliers representam amostras que extrapolam as observações. Para determinar essas extrapolações (outliers), usa-se a Amplitude Interquartil (IQR - Interquartile Range)  .

A obtenção dos limites de extrapolação são mensurados a partir da seguinte expressão:

  • Lembrando que amostras, são respectivamente obtidos por:   e  .
 

Exemplo. Dado o rol: 31, 32, 33, 36, 39, 43, 44, 44, 44, 45, 46, 47, 47, 49, 52, 54, 55, 56, 56, 57, 91. Quais são os valores outliers (extrapolações).

Nesse exemplo os Quartis são:  

Os limites de outlier (extrapolação) inferior e superior, respectivamente, são:  

A interpretação de outlier é: não há nenhum valor que extrapola o limite inferior   e o valor   extrapola o limite/outlier superior  .

Q77762

Há também os extremos, geralmente representado por um asterisco  após a base do outlier (valores atípicos) do Gráfico de Caixa.

São valores/outliers extremos os que superam  .
  • No gráfico boxplot, os outliers são os pontos a 3 desvios-padrões de distância da média.

Interpolação LinearEditar

 

OgivaEditar

 

ConceitosEditar

 
 

Coeficiente de determinaçãoEditar

O coeficiente de determinação, também chamado de , é uma medida de ajustamento de um modelo estatístico linear generalizado, como a regressão linear, em relação aos valores observados. O R² varia entre 0 e 1, indicando, em percentagem, o quanto o modelo consegue explicar os valores observados. Quanto maior o R², mais explicativo é o modelo, melhor ele se ajusta à amostra.

 

Por exemplo, se o R² de um modelo é 0,8234, isto significa que 82,34% da variável dependente consegue ser explicada pelos regressores presentes no modelo.

 

, onde   é o numero de observações;

Partindo de   é o valor observado e   é a média das observações, esta equação dá-nos a Soma Total dos Quadrados, ou seja, a soma dos quadrados das diferenças entre a média e cada valor observado.

 

, onde   é o valor estimado (previsão) de  .

Esta equação é a Soma dos Quadrados dos Resíduos, que calcula a parte que não é explicada pelo modelo.

 

, onde   é o valor estimado (previsão) de  .

Esta equação, a Soma dos Quadrados Explicada, indica-nos a diferença entre a média das observações e o valor estimado para cada observação, e soma os respectivos quadrados. Quanto menor for a diferença, maior poder explicativo detém o modelo.

Em alguns casos temos:

 ,

E normalizando a equação de cima, temos que:

 

Regressão linearEditar

Equação da Reta:  

 

 

Regressão linear simples:  

onde:

 
Nesse equação deve-se aplicar o logaritmo neperiano apenas à variável dependente.

Q425549

Algoritmos e estruturas de dadosEditar

GrafosEditar

  • Número de Pares de Vértices não-Ordenados:  .
  • Grau de um vértice é o número de arestas que incidem no vértice.
  • Nos dígrafos ou grafos direcionados, o grau se dá quanto ao número de entradas e o número de saídas.

Complexidade ciclomáticaEditar

 
Complexidade = (A = 9, V = 8 e U = 1) = 3
 

Ver tambémEditar

Questões de MatemáticaEditar

Regra de trêsEditar

2014 Banca: NC-UFPR Órgão: TJ-PR Prova: NC-UFPR - 2014 - TJ-PR - Técnico JudiciárioEditar

Após viajar 300 km e chegar ao seu destino, um motorista percebeu que, se sua velocidade média na viagem tivesse sido 10 km/h superior, ele teria diminuído o tempo da viagem em 1 hora. Quanto tempo o motorista gastou na viagem?

 
 

Progressões/sequênciasEditar

2017 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: Técnico de Enfermagem do Trabalho JúniorEditar

A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por  

Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica?  

  • O 1º termo é:
 
  • O 4º termo é:
 
 

MatrizesEditar

2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: Técnico de Administração e Controle JúniorEditar

Sejam A uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tais que  . O valor de   é:

Propriedade do determinante  , onde   é o tamanho da matriz.

 

Sistemas LinearesEditar

Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Transpetro Prova: Técnico de Administração e Controle JúniorEditar

Sistemas lineares homogêneos possuem, pelo menos, uma solução e, portanto, nunca serão considerados impossíveis. O sistema linear dado abaixo possui infinitas soluções.

 

Qual o maior valor possível para  

1º Passo encontrar o determinante, a partir da matrix:

 

 

Some e Produto  

 

Entre os valores   o maior valor é 2, portanto,  

Matemática financeiraEditar

Ano: 2011, Banca: CESPE, Órgão: BRB, Prova: EscriturárioEditar

Um estudo constatou que a população de uma comunidade é expressa pela função  , em que P(t) é a população t anos após a contagem inicial, que ocorreu em determinado ano, e considerado t = 0. Com referência a esse estudo e considerando 1,2 e 1,8 como os valores aproximados para   e ln 6, respectivamente, julgue os itens a seguir.

A população será de 30.000 indivíduos 5 anos após a contagem inicial.

  • A pergunta é: a partir da fórmula dada o valor resultante de (t) será quanto?
 
 

Ano: 2014, Banca: CESPE, Órgão: Caixa, Prova: Técnico BancárioEditar

Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata.

Para adquirir um bem apenas com recursos investidos na aplicação financeira X, Carlos dispõe das seguintes opções de pagamento:

opção A – pagamento à vista, com desconto de 3% do valor de tabela; ou

opção B – pagamento em doze parcelas mensais, cada uma delas igual a 1/12 do valor de tabela do bem, a primeira vencendo 1 mês após a compra. Para verificar qual dessas opções de pagamento seria financeiramente mais vantajosa para ele, Daniel utilizou 11,26 como valor aproximado para a expressão  .

Nessa situação, a opção B é financeiramente mais vantajosa para Daniel.

  • A pergunta é: parcelado mantendo a aplicação (B) é o melhor do que pagar à vista com desconto (A)?
  • Explicando a resolução: nessa questão seria inviável trazer cada uma das 12 parcelas para o valor presente, então, simplesmente é necessário usar o fator dado. Contudo, o fator não poderia ser aplicado ao investimento sem considerar as saídas de capital, portanto, a melhor estratégia de resolução é montar uma tabela e resolver as primeiras parcelas para avaliar as condições de cada forma de pagamento.
Para o exemplo vamos considerar $120 o valor do bem financiado.
 
 
  • Fontes: Youtube (Correção de Prova: CEF - Matemática Financeira - Edgar Abreu - A Casa do Concurseiro).

Ano: 2011, Banca: CESPE, Órgão: BRB, Prova: EscriturárioEditar

Uma agência bancária, ao emprestar a quantia de R$ 60.000,00 a uma empresa, entregou o valor no ato e concedeu à empresa 3 anos de carência, sem que os juros desse período ficassem capitalizados para serem pagos posteriormente. Com base nessa situação e sabendo que esse empréstimo será pago pelo sistema de amortização constante (SAC), em 3 anos e à taxa de juros de 10% ao ano, julgue os itens subsecutivos.

O total de juros pagos será superior a R$ 23.000,00.

  • A pergunta é: nas condições da questão todos os juros pagos superam R$ 23.000,00?
  • Explicando a resolução: quando há uma carência de pagamento da dívida, então, nesse período não há pagamento do valor princial, somente os juros são pagos, igualmente no sistema de amortização americano, onde os juros são pagos periodicamente e somente ao final do prazo acertado o valor principal é pago.
Período   Saldo Devedor  
 
Parcela   Juros   Amortização(A)
 
0 60.000,00
1 60.000,00 6.000,00
2 60.000,00 6.000,00
3 60.000,00 6.000,00
4 40.000,00 26.000,00 6.000,00 20.000,00
5 20.000,00 24.000,00 4.000,00 20.000,00
6 0 22.000,00 2.000,00 20.000,00
  30.000,00 60.000,00

Ano: 2017, Banca: Quadrix, Órgão: Terra, Prova: Técnico AdministrativoEditar

Henrique e Jorge são fiscais de obra.

Henrique disse a Jorge: irei tranferir seis obras minhas para você, e você irá transferir uma sua para mim, assim você ficará com o dobro das obras que tenho.

Jorge disse a Henrique: irei tranferir sete obras minhas para você, e você irá transferir uma sua para mim, assim você ficará com o dobro das obras que tenho.

 

 

 

Ano: 2011, Banca: CESPE, Órgão: BRB, Prova: EscriturárioEditar

Considerando que o financiamento de R$ 5.000,00, à taxa de juros compostos de 2% ao mês e pagamento em duas parcelas mensais, tenha permitido a implantação de um projeto com retorno de R$ 4.000,00 em cada um dos dois meses, e adotando 0,98 e 0,96 como valores aproximados de   e   , respectivamente, é correto afirmar que o valor presente líquido do referido projeto será superior a R$ 2.750,00.

  • A pergunta é: o valor financiado de R$ 5.000,00, em relação aos retornos de capital, terá um VPL que supere 2.750,00?
 
  • Explicando a resolução: notar que os fatores foram dados com expoentes negativos  , portanto, em relação às descapitalizações o valor de cada retorno deverá ser multiplicado:

 

Ano: 2013, Banca: CESGRANRIO, Órgão: LIQUIGÁS, Prova: Nível MédioEditar

A variável  , quando escrita em função de uma variável x, é dada por  .

 

Ano: 2014, Banca: CESGRANRIO, Órgão: Petrobras, Prova: Geofísico(a) Júnior - GeologiaEditar

Uma variável aleatória X de interesse assume apenas os valores 1, 2 e k.

Sabendo-se que P(X = 1) = 1/3 , P (X = 2 ) = 1/4 e que a média da variável aleatória é 5, o valor de k é dado por

Se P(1)=1/3 e P(2)=1/4, Logo P(K) = 1 - (P(X1) + P(X2))
Temos então: P(K) = 1 - (1/3 + 1/4), Fazendo MMC, P(K) = 1 - 7/12 = 5/12
Portanto P(1)+P(2)+P(K) = 4/12 + 3/12 + 5/12 = 12/12 = 1 (Todas as possibilidades)
Como a média da variável aleatória em todas as suas apariçoes é 5.
Somando todos os valores para a VA, multiplicados por suas respectivas probabilidades, temos: 4*(1)+3*(2)+5*(K) / 12 = 5
ou 1+1+1+1+2+2+2+K+K+K+K+K = 12*5 
5K = 60 - 10
5K = 50
K = 10

FunçõesEditar

Definição de função: uma  , ou seja, um   passado para função   retorna a sua expressão algébrica.

Função parEditar

Uma função par é aquela cuja equivalência do resultado se mantém passando-se o parâmetro   com o sinal invertido. Exemplo:  .

Perceba que na expressão   tanto passando-se o valor   o resultado será o mesmo porque qualquer número negativo ou positivo elevado a um expoente par resulta em um número positivo.

Ano: 2013 Banca: CESGRANRIO Órgão: Banco da Amazônia Prova: Técnico BancárioEditar

Sabe-se que x e y são números reais tais que  . Conclui-se que x é igual a:

 

 

 

ProbabilidadeEditar

Ano: 2010 Banca: CESGRANRIO Órgão: Banco do Brasil Prova: EscriturárioEditar

Uma urna contém 5 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 7 bolas verdes. Cinco bolas são aleatoriamente escolhidas desta urna, sem reposição. A probabilidade de selecionar, no mínimo, uma bola de cada cor é:

 

TESTESEditar