Questão exemplo: Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do mesmo. Considere que, em determinado lago, a intensidade y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função , onde representa a intensidade da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade da luz corresponde a (considerando ).
A intersecção dos conjuntos A = [-2, 5] e B = [3, 6 ] é o conjunto C, tal que: C tem infinitos valores.
Atenção: quando os valores são dados em colchetes[], não se trata de elementos, mas sim de intervalo, portanto, a questão implicitamente representa A (intervalo de infinitos valores entre -2 e 5) e B (infinitos valores entre 3, 6).
Exemplo (Q2305416): Determinada cidade tem 1.000 residências que são atendidas por diferentes fontes energéticas. Desse total, 650 residências são atendidas por energia elétrica de fonte hidroelétrica, 450 são atendidas por energia de fonte solar, 250 são atendidas por energia de fonte eólica, 350 são atendidas por energia de fontes solar e hidroelétrica, 150 são atendidas por energia de fontes hidroelétrica e eólica e 50 são atendidas por energia de fontes solar e eólica.
As informações da situação hipotética precedente são suficientes para se inferir que:
Os conjuntos P e Q têm p e q elementos, respectivamente, com . Sabendo-se que a razão entre o número de subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32, quanto vale o produto pq?
Definida pela equação da parábola, denotada por onde são os pontos da parábola que cruzam o eixo , sendo o ponto onde a parábola cruza o eixo , e é o Coeficiente Angular.
A fórmula de cálculo para a parcela em Price é equivalente às somas das capitalizações no tempo, conforme as expressões a seguir:
Demonstração: tomando por base o exemplo anterior, onde o montante de $ 1.000,00 à taxa de 3% a.m., durante 4 meses, resultando na parcela de $ 269,03 ao mês, a soma das capitalizações dessas parcelas se dá conforme a seguir:
OU
Taxas de juros nominal, efetiva, equivalente, real e aparente
Uma pessoa aplicou determinado capital durante cinco meses à taxa de juros simples de 4% ao mês, para saldar uma dívida de $ 12.000,00, quatro meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. Nessa situação, a taxa mensal efetiva para o desconto comercial foi de:
Importante: quando na capitalização há também juros incidentes sobre o último depósito/investimento, então, na descapitalização basta aplicar a fórmula de juros compostos para se obter o valor da anuidade (). Exemplo: .
Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$ 120,00, onde i corresponde à taxa de juros:
Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20%
Exemplo: A empresa X vai contratar a empresa Y para realizar um serviço no valor total de 10 milhões de reais. Tal valor será pago em três parcelas, cujos percentuais do valor total do serviço estão apresentados a seguir:
Parcela 1 – 17,5% no ato da contratação;
Parcela 2 – 22,0% para 12 meses após a assinatura do contrato;
Parcela 3 – 60,5% para 24 meses após a assinatura do contrato.
Qual é o valor atual desse contrato para a empresa X, considerando-se uma taxa mínima de atratividade de 10% a.a.?
Uma instituição financeira realiza operações de desconto simples comercial à taxa de 4% a.m.. Um cliente desse banco descontou uma nota promissória cinco meses antes do seu vencimento.
A taxa de desconto efetiva linear é:
Dado que um valor no dia de seu vencimento era de $ 100,00, e tinha conforme a tabela de atualização monetária o índice de 49,768770 e na data do pagamento o índice é 54,527049. Qual é o valor atualizado?
Exemplo com juros
Dado dado o exemplo anterior, sendo de 3 meses, mais juros de 1% ao mês (lembrando que se aplica juros simples).
Quando a ordem não importa, mas cada objeto pode ser escolhido mais de uma vez, o número de combinações é
Exemplo
Uma pessoa dispõe de balas de hortelã, de caramelo e de coco e pretende “montar” saquinhos com 13 balas cada, de modo que, em cada saquinho, haja, no mínimo, três balas de cada sabor. Um saquinho diferencia-se de outro pela quantidade de balas de cada sabor. Por exemplo, seis balas de hortelã, quatro de coco e três de caramelo compõem um saquinho diferente de outro que contenha seis balas de coco, quatro de hortelã e três de caramelo. Sendo assim, quantos saquinhos diferentes podem ser "montados"?
Como é necessário que cada saquinho tenha 3 balas de cada sabor, então, haverão 9 balas já definidas, restando apenas um espaço de combinação para 4 balas, ao qual se pode escolher de qualquer maneira umas das 3 amostras de sabor.
Um sistema operacional de computador permite atribuir nomes aos arquivos utilizando qualquer combinação de letras maiúsculas (A-Z) e de algarismos (0-9), mas o número de caracteres do nome do arquivo deve ser no máximo 8 (e deve haver ao menos um caractere no nome do arquivo). São exemplos de nomes válidos: Y56, G, 8JJ e FGHI7890. São exemplos de nomes inválidos B*32 (por ter um caractere não permitido) e CLARINETE (por possuir mais do que 8 caracteres (SCHEINERMAN, 2015, adaptado).
Podem ser utilizados um total de 36 caracteres, sendo 26 letras e 10 algarismos. Como a ordem dos caracteres é relevante (alterando a ordem dos caracteres obtém-se nomes diferentes), trata-se de um problema de listas. Ficou estabelecido o número máximo de caracteres igual a 8 e o número mínimo de caracteres igual a 1. Logo, para cada palavra com n caracteres, tem-se 36n possibilidades. Portanto, a quantidade possível de nomes de arquivos diferentes nesse sistema operacional é determinada por:
Em uma reunião com 5 pessoas em que cada pessoa cumprimenta a outra quanto apertos de mão serão realizados. Ou, em um capeonato com 5 times em que cada time enfreta os demais, quantas serão as partidas realizadas?
Mais detalhes: é possível também o resultado a partir da expressão , contudo, em situações onde se tenha o número final de combinações e se deseja saber o valor inicial, se torna mais difícil a descoberta do número fatorial adequado. Veja:
Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os outros com um aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas havia reunião se foram trocados apertos de mão?
Nesse caso, para rápida solução considerar o valor do da equação
x é a variável aleatória que representa o tempo entre eventos.
Propriedades:
Esperança (Média) e Variância:
A média (ou valor esperado) da distribuição exponencial é .
A variância da distribuição exponencial é .
Exemplo Prático:
Suponha que o tempo (em horas) entre falhas de uma máquina segue uma distribuição exponencial com uma taxa de falha λ = 0,5 falhas por hora. Isso significa que o tempo médio entre falhas é 1/λ = 2 horas. Para calcular a probabilidade de a máquina operar por pelo menos 3 horas sem falhar:
P(X>3) = 1 − F(3; 0,5) = 1 − (1 −e^(−0,5 ⋅ 3) = e^(−3/5) ≈ 0,2231
O cálculo do vértice possibilita verificar qual a maior área disponível a partir de uma base dada.
Questão exemplo: Uma pessoa tem 80m de arame para cercar um terreno de forma retangular, sendo que um dos lados do terreno é um rio que não precisará de cerca de arame. Qual deve ser o valor de cada lado X para que o terreno cercado tenha a máxima área?
Qual é a estimativa de média da distribuição anterior?
Bem, essa questão realmente é uma estimativa, porque a partir das amostras não há como afirmar com certeza o salário médio, haja vista haver intervalos entre as classes, daí a própria noção de estimativa dentro de uma faixa.
É importante notar que a distribuição apresentada traz apenas as frequências relativas da distribuição, ou seja, não ha como se afirmar os valores absolutos das amostras, apenas os relativos.
Para a apuração da média entre as classes será necessário determinar três novas colunas, quais sejam:
Ponto médio de cada intervalo de classe ;
Ponto médio da frequência relativa ;
E por fim a que defina o produto dos médios : média do intervalo() multiplicado pela média da frequência relativa().
A mediana de um rol representa a amostra que está no ponto central, e quando a contagem dessa amostra resultar em um número par, a mediana será a média entre os 2 termos centrais.
A mediana entre as classes se encontra onde a frequência atinge da amostra, sendo o Limite Inferior entre as frequências a frequência antecessora àquela da classe , e o Limite Superior o desta classe .
Na distribuição dada, o Limite Superior das frequência é e o Limite Inferior é a frequência anterior .
Regra de Sturges para definição do número de classes
Exemplo: Seja uma amostra aleatória simples extraída de uma população, com tamanho 10 e representada por; i = 1, 2, ... , 10. Sabe-se que e A variância dessa amostra apresenta o valor de:
A Função de Massa de Probabilidade (FMP), ou Função de Massa de Probabilidade (PMF, do inglês Probability Mass Function), é uma função que descreve a probabilidade de uma variável aleatória discreta assumir um determinado valor específico. Em outras palavras, ela fornece a probabilidade associada a cada valor possível da variável aleatória discreta.
Definição Formal:
Para uma variável aleatória discreta X que pode assumir valores em um conjunto {x1,x2,x3,…}, a função de massa de probabilidade p(x) é definida como:
onde é a probabilidade de que a variável aleatória X assuma o valor x.
Propriedades da FMP:
Não-Negatividade: Para todo x, p(x) ≥ 0.
Soma das Probabilidades: A soma das probabilidades de todos os valores possíveis da variável aleatória é igual a 1: ∑x∈Suporte de Xp(x)=1
Funções de Distribuição de Probabilidades Contínuas
A partir de uma curva gausiana onde a média está no centro da curva há uma distribuição normal, a partir do centro, de:
Margem =
Cuja probabilidade dada uma média e o desvio padrão é
.
O representa a distância a partir do centro da distribuição, portanto, .
Exemplo: Estima-se que os retornos de um determinado mercado tenham distribuição normal, com média 20% e desvio padrão 10%. A probabilidade de perdas financeiras é de: .
Nesse caso, o número de desvios é 0 (zero) porque 10% do desvio padrão está na área dentro do intervalo de , assim não há deslocamento que supere à esquerda (prejuízo). Então, como denota que haverá deslocamento de 2 desvios padrão à esquerda, portanto, situando o desvio na posição .
A Regra Empírica infere que uma distribuição tem maior possibilidade dentro das Frequências Acumul .
Considere que a média de peso de meninas de 1 ano de idade nos EUA é normalmente distribuída com uma média de cerca de 9,5kg e com um desvio padrão aproximadamente de 1,1kg. Sem usar a calculadora, estime a quantidade de meninas de 1 ano de idade que tenha as seguintes condições:
Dado que: Z tem distribuição normal padrão, então:
Se t tem distribuição de Student com 3 graus de liberdade P(t > 1,638) = 0,10;
Se t tem distribuição de Student com 4 graus de liberdade P(t > 1,533) = 0,10.
A experiência com trabalhadores de uma certa indústria indica que o tempo requerido para que um trabalhador, aleatoriamente selecionado, realize um serviço, é distribuído de maneira aproximadamente normal com desvio padrão de 12 minutos. Deseja- se, por meio de uma amostra aleatória, com reposição, estimar a média populacional. O tamanho desta amostra, para que a diferença em valor absoluto entrverddddadeiro valor populacional e sua estimativa seja de no máximo 2 minutos, com probabilidade de 96%, é:
A função de distribuição logística é uma função de distribuição de probabilidade que é amplamente utilizada em estatística e econometria, especialmente em contextos de modelos de regressão logística.
Esta distribuição é simétrica em torno do seu ponto médio e tem caudas que se aproximam exponencialmente, mas que nunca tocam o eixo horizontal.
Definição
A função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição logística para uma variável aleatória X com parâmetros de localização μ (média) e escala s (desvio) é dada pela função Sigmóide.
Aqui:
μ é o parâmetro de localização (média);
s é o parâmetro de escala, que determina a dispersão da distribuição;
e é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.
A função de densidade de probabilidade (PDF) correspondente é:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f(x; \mu, s) = s(1+e−)2e−sx−μ}
Propriedades:
Simetria: A distribuição é simétrica em torno de μ.
Média e Mediana: Ambas são iguais a μ.
Variância: A variância é dada por 3π2s2.
Caudas: As caudas da distribuição decrescem exponencialmente, mas mais lentamente do que a distribuição normal.
Exemplos e Aplicações
1. Modelo de Regressão Logística
A regressão logística é uma aplicação comum da distribuição logística. Em um modelo de regressão logística, a probabilidade de um evento binário (como sucesso/falha, 0/1) é modelada usando a função logística.
Por exemplo, suponha que queremos modelar a probabilidade de um paciente ter uma doença baseada em alguma característica, como o nível de colesterol. Seja X o nível de colesterol, o modelo logístico pode ser expresso como:
P(Y=1∣X=x)=1+e−(β0+β1x)1
Aqui, β0 e β1 são parâmetros a serem estimados a partir dos dados.
2. Exemplificação Numérica
Vamos considerar uma variável aleatória X que segue uma distribuição logística com μ=0 e s=1.
A CDF da distribuição logística com esses parâmetros é:
F(x;0,1)=1+e−x1
A PDF correspondente é:
f(x;0,1)=(1+e−x)2e−x=(1+ex)2ex
Para calcular a probabilidade de X ser menor ou igual a 1 (usando a CDF):
F(1;0,1)=1+e−11=1+e11=e+1e≈0.731
Isso significa que a probabilidade de X ser menor ou igual a 1 é aproximadamente 73.1%.
Isso fornece a densidade da função logística no ponto x=1.
Conclusão
A função de distribuição logística é uma ferramenta útil em estatística, especialmente para modelar distribuições de dados que são simétricas e possuem caudas exponenciais. É amplamente utilizada em regressão logística para modelar a probabilidade de eventos binários, oferecendo uma maneira prática de lidar com problemas de classificação binária.
Quando um pesquisador vai a campo e aborda pessoas na rua para serem entrevistadas, o número de pessoas que aceita responder à pesquisa segue uma distribuição binomial.
Se o valor esperado dessa distribuição é 8, e sua variância é 1,6, então a probabilidade de uma pessoa aceitar responder à pesquisa é de .
Se X e Y são duas variáveis aleatórias, para as quais são definidas: E(X) e E(Y), suas esperanças matemáticas (expectâncias); Var(X) e Var(Y), suas respectivas variâncias, e Cov(X, Y), a covariância entre X e Y, quais- quer que sejam as distribuições de X e Y, tem-se que:
Para uma variável aleatória de distribuição uniforme () no intervalo de (onde é o limite inferior e é o limite superior), sua Frequência de Densidade de Probabilidade (FDP) será tal que:
Quando
Exemplo (CGU – 2008/ESAF): Sendo X aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0; 1), determine sua variância:
Encontrando o número de amostras/população dada a função de densidade.
Exemplo: Em um estudo sobre a economia informal de uma cidade, deseja-se determinar uma amostra para estimar o rendimento médio dessa população, com um grau de confiança de 95% de que a média da amostra aleatória extraída não difira de mais de R$ 50,00 da média do rendimento dessa população, cujo desvio padrão é R$ 400,00. Sabendo-se onde f(z) é a função de densidade de probabilidade com z = 1,96, pode-se concluir que o número de pessoas da amostra será:
Os outliers representam amostras que extrapolam as observações. Para determinar essas extrapolações (outliers), usa-se a Amplitude Interquartil (IQR - Interquartile Range).
A obtenção dos limites de extrapolação são mensurados a partir da seguinte expressão:
Lembrando que amostras, são respectivamente obtidos por: e .
Exemplo. Dado o rol: 31, 32, 33, 36, 39, 43, 44, 44, 44, 45, 46, 47, 47, 49, 52, 54, 55, 56, 56, 57, 91. Quais são os valores outliers (extrapolações).
Nesse exemplo os Quartis são:
Os limites de outlier (extrapolação) inferior e superior, respectivamente, são:
A interpretação de outlier é: não há nenhum valor que extrapola o limite inferior e o valor extrapola o limite/outlier superior .
O coeficiente de determinação, também chamado de R², é uma medida de ajustamento de um modelo estatístico linear generalizado, como a regressão linear, em relação aos valores observados. O R² varia entre 0 e 1, indicando, em percentagem, o quanto o modelo consegue explicar os valores observados. Quanto maior o R², mais explicativo é o modelo, melhor ele se ajusta à amostra.
Por exemplo, se o R² de um modelo é 0,8234, isto significa que 82,34% da variável dependente consegue ser explicada pelos regressores presentes no modelo.
, onde é o numero de observações;
Partindo de é o valor observado e é a média das observações, esta equação dá-nos a Soma Total dos Quadrados, ou seja, a soma dos quadrados das diferenças entre a média e cada valor observado.
, onde é o valor estimado (previsão) de .
Esta equação é a Soma dos Quadrados dos Resíduos, que calcula a parte que não é explicada pelo modelo.
, onde é o valor estimado (previsão) de .
Esta equação, a Soma dos Quadrados Explicada, indica-nos a diferença entre a média das observações e o valor estimado para cada observação, e soma os respectivos quadrados. Quanto menor for a diferença, maior poder explicativo detém o modelo.
A população é dividida em grupos (clusters), e são escolhidos uma amostra dentro de cada grupo(cluster).
Perceber que os elementos não têm exatamente a mesma probabilidade de escolha a depender do cluster onde está.
Exemplo: Separa-se uma turma de 10 alunos de TI em grupo de mulheres e homens. Sabendo-se que serão escolhidos proporcionalmente n alguns de cada grupo, sendo que a turma tem 3 mulheres e 7 homens. Então, a probabilidade(p) de um homem ser selecionado no seu cluster é de , e para as mulheres .
Sorteia-se alguns grupos dentre todos, daí toda a população de cada grupo é examinada.
Exemplo: Num presídio com 500 celas, 10 delas serão escolhidas para verificação da saúde do preso. Todos os presos das 10 celas serão examinados. Ou seja, fatiou e pegou todas as fatias!
Após viajar 300 km e chegar ao seu destino, um motorista percebeu que, se sua velocidade média na viagem tivesse sido 10 km/h superior, ele teria diminuído o tempo da viagem em 1 hora. Quanto tempo o motorista gastou na viagem?
Sistemas lineares homogêneos possuem, pelo menos, uma solução e, portanto, nunca serão considerados impossíveis. O sistema linear dado abaixo possui infinitas soluções.
Qual o maior valor possível para
1º Passo encontrar o determinante, a partir da matrix:
Um estudo constatou que a população de uma comunidade é expressa pela função , em que P(t) é a população
t anos após a contagem inicial, que ocorreu em determinado ano, e considerado t = 0. Com referência a esse estudo e considerando 1,2 e 1,8 como os valores aproximados para e ln 6, respectivamente, julgue os itens a seguir.
A população será de 30.000 indivíduos 5 anos após a contagem inicial.
A pergunta é: a partir da fórmula dada o valor resultante de (t) será quanto?
Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata.
Para adquirir um bem apenas com recursos investidos na aplicação financeira X, Carlos dispõe das seguintes opções de pagamento:
opção A – pagamento à vista, com desconto de 3% do valor de tabela; ou
opção B – pagamento em doze parcelas mensais, cada uma delas igual a 1/12 do valor de tabela do bem, a primeira vencendo 1 mês após a compra. Para verificar qual dessas opções de pagamento seria financeiramente mais vantajosa para ele, Daniel utilizou 11,26 como valor aproximado para a expressão .
Nessa situação, a opção B é financeiramente mais vantajosa para Daniel.
A pergunta é: parcelado mantendo a aplicação (B) é o melhor do que pagar à vista com desconto (A)?
Explicando a resolução: nessa questão seria inviável trazer cada uma das 12 parcelas para o valor presente, então, simplesmente é necessário usar o fator dado. Contudo, o fator não poderia ser aplicado ao investimento sem considerar as saídas de capital, portanto, a melhor estratégia de resolução é montar uma tabela e resolver as primeiras parcelas para avaliar as condições de cada forma de pagamento.
Para o exemplo vamos considerar $120 o valor do bem financiado.
Fontes: Youtube (Correção de Prova: CEF - Matemática Financeira - Edgar Abreu - A Casa do Concurseiro).
Uma agência bancária, ao emprestar a quantia de R$ 60.000,00 a uma empresa, entregou o valor no ato e concedeu à empresa 3 anos de carência, sem que os juros desse período ficassem capitalizados para serem pagos posteriormente. Com base nessa situação e sabendo que esse empréstimo será pago pelo sistema de
amortização constante (SAC), em 3 anos e à taxa de juros de 10% ao ano, julgue os itens subsecutivos.
O total de juros pagos será superior a R$ 23.000,00.
A pergunta é: nas condições da questão todos os juros pagos superam R$ 23.000,00?
Explicando a resolução: quando há uma carência de pagamento da dívida, então, nesse período não há pagamento do valor princial, somente os juros são pagos, igualmente no sistema de amortização americano, onde os juros são pagos periodicamente e somente ao final do prazo acertado o valor principal é pago.
Henrique disse a Jorge: irei tranferir seis obras minhas para você, e você irá transferir uma sua para mim, assim você ficará com o dobro das obras que tenho.
Jorge disse a Henrique: irei tranferir sete obras minhas para você, e você irá transferir uma sua para mim, assim você ficará com o dobro das obras que tenho.
Considerando que o financiamento de R$ 5.000,00, à taxa de juros compostos de 2% ao mês e pagamento em duas parcelas mensais, tenha permitido a implantação de um projeto com retorno de R$ 4.000,00 em cada um dos dois meses, e adotando 0,98 e 0,96 como valores aproximados de e , respectivamente, é correto afirmar que o valor presente líquido do referido projeto será superior a R$ 2.750,00.
A pergunta é: o valor financiado de R$ 5.000,00, em relação aos retornos de capital, terá um VPL que supere 2.750,00?
Explicando a resolução: notar que os fatores foram dados com expoentes negativos , portanto, em relação às descapitalizações o valor de cada retorno deverá ser multiplicado:
Ano: 2013, Banca: CESGRANRIO, Órgão: LIQUIGÁS, Prova: Nível Médio
Uma variável aleatória X de interesse assume apenas os valores 1, 2 e k.
Sabendo-se que P(X = 1) = 1/3 , P (X = 2 ) = 1/4 e que a média da variável aleatória é 5, o valor de k é dado por
Se P(1)=1/3 e P(2)=1/4, Logo P(K) = 1 - (P(X1) + P(X2))
Temos então: P(K) = 1 - (1/3 + 1/4), Fazendo MMC, P(K) = 1 - 7/12 = 5/12
Portanto P(1)+P(2)+P(K) = 4/12 + 3/12 + 5/12 = 12/12 = 1 (Todas as possibilidades)
Como a média da variável aleatória em todas as suas apariçoes é 5.
Somando todos os valores para a VA, multiplicados por suas respectivas probabilidades, temos: 4*(1)+3*(2)+5*(K) / 12 = 5
ou 1+1+1+1+2+2+2+K+K+K+K+K = 12*5
5K = 60 - 10
5K = 50
K = 10
Uma função par é aquela cuja equivalência do resultado se mantém passando-se o parâmetro com o sinal invertido. Exemplo: .
Perceba que na expressão tanto passando-se o valor o resultado será o mesmo porque qualquer número negativo ou positivo elevado a um expoente par resulta em um número positivo.
Uma urna contém 5 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 7 bolas verdes. Cinco bolas são aleatoriamente escolhidas desta urna, sem reposição. A probabilidade de selecionar, no mínimo, uma bola de cada cor é:
![{\displaystyle B^{\frac {c}{a}}={\sqrt[{a}]{B^{c}}}=(B^{c})^{\frac {1}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9eeefefa3fbb31e6b7c39f95a32530f8f8796e8)
![{\displaystyle -0,48={[Log(6)-Log(10)]x \over 88}\Rightarrow -0,48\cdot 88=[Log(3\cdot 2)-1]x\Rightarrow -42,24=(0,48+0,30-1)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cec5336dea0e8974ad8cde80d586439310704e5)
![{\displaystyle C[C(n,2),3]=(36\times 2)+(36\div 3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5799e225538748a715923127e49a769518ab69a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}1&-2&1\\1&1&-3\\2&-1&-2\end{vmatrix}}{\begin{matrix}1&-2\\1&1\\2&-1\end{matrix}}=[-2+12-1]\color {red}-[1+2+3+4]\color {black}\Rightarrow \color {green}{Determinante=0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbff78dc3222fa7299856893f2eaddabd3e4f66)
![{\displaystyle 1,0X^{2}=1,0[2\cdot n]0[n^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4869055a9a6b5fcc3398671af0f1c325c4b790)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{e}&=[1+{0,36 \over 12}]^{\frac {12}{6}}-1\Rightarrow [1+{0,36 \over 12}]^{2}-1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7f831ce8a597c43f6dc104fcd75f9fc97857f1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{[2001a2005]}&=(1+0,0767)\cdot (1+0,1253)\cdot (1+0,093)\cdot (1+0,076)\cdot (1+0,0569)-1\\I_{[2001a2005]}&=1,0767\cdot 1,1253\cdot 1,093\cdot 1,076\cdot 1,0569-1\\I_{[2001a2005]}&=1,5060-1\\I_{[2001a2005]}&=0,5060\\I_{[2001a2005]}&=(0,5060\times 100)=50,6\%{\text{ é a inflação do período }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5faa0a5a68900caa49a0fb607ac486fa4332e7ef)
![{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{(n-1)}}\times [\sum ({X_{i}}^{2})-{\frac {\sum (X_{i})^{2}}{n}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490b6a95392f74fa678cd24e8d816e6c1f2d656f)
![{\displaystyle \rho _{X,Y}\equiv \mathrm {corr} (x,y)={\mathrm {cov} (X,Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={E[(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})] \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e32de1d8367d737ff8bae6c9082299a6a8d549)
![{\displaystyle [\alpha ;\beta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ede34d883f0119642c68df9c981b7dfec9f3bde)
![{\displaystyle [2,9\to x\to 3,1]=[4\to 4,8\to 5]\Rightarrow {{3,1-x} \over {3,1-2,9}}={{5-4,8} \over {5-1}}\Rightarrow \color {green}{x=3,06}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4664350e2f973ad6c4924e5789e2bc5165c70ac)
![{\displaystyle Qn=LI_{i}+[{\frac {n\cdot ({\frac {\sum {x_{i}}}{4}})-Fx_{(i-1)}}{x_{i}}}]\cdot h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b023b1bced6190ad70b844f9c01dc05e16b1b8)
![{\displaystyle Q_{3}=30+[{\frac {3\cdot ({\frac {164}{4}})-64}{100}}]\cdot 10=35,9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c77cc5cfe2064ceaff01b05366bc26fbc7426d0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}det(3A)\times det(2B)\\det(A)\times 3^{2}\times det(B)\times 2^{3}\\det(A)\times 9\times det(B)\times 8\\9\times 8\times [det(A)\times det(B)]=72\times 1=\color {green}{72}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2866fe6bf3863f2f6fc60b8cbfabddcf9c8366a)
![{\displaystyle Log_{5}(y)=3x\Rightarrow x={Log_{5}(y) \over 3}\Rightarrow {\frac {1}{3}}\cdot Log_{5}(y)\Rightarrow Log_{5}(y)^{\frac {1}{3}}\Rightarrow x=Log_{5}({\sqrt[{3}]{y^{1}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0d3278cef42c26a4a896e11b4cbc4c2475505a)
