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O teorema de Napoleão (geralmente atribuído a Napoleão Bonaparte, que o teria enunciado em 1787 e provado) enuncia que os centros de triângulos equiláteros adjacentes a um triângulo qualquer são os vértices de um triângulo equilátero. Ou seja, para $[ABC]$ um triângulo qualquer, sendo $[ABZ]$ , $[BCX]$ e $[CAY]$ triângulos equiláteros e $L$ , $M$ e $N$ os respetivos centros, então $[LMN]$ é um triângulo equilátero.

Um dos corolários deste teorema é que, para um triângulo qualquer $[ABC]$ , é possível preencher um plano utilizando apenas translações e rotações de $[ABC]$ e dos triângulos equiláteros adjacentes.

Prova

Geometria analítica

Sem perda de generalidade, sejam $A(0,0)$ , $B(1,0)$ e $C(x,y)$ .

Para qualquer triângulo equilátero $[PQR]$ de lado $l$ e área $A_{[PQR]}$ , sabe-se que

$A_{[PQR]}={\tfrac {\sqrt {3}}{4}}l^{2}$

Sendo $O'$ a projeção ortogonal do ortocentro $O$ do triângulo sobre $[PQ]$ , e $h'={\overline {OO'}}$ a altura de $O$ , sabe-se que

$h'={\tfrac {\sqrt {3}}{6}}l$ ^{[nota 1]}

O vetor unitário ${\vec {v}}(v_{x},v_{y})$ perpendicular a uma dada reta $PQ$ é dado por

${\vec {v}}\cdot {\vec {PQ}}=0\Leftrightarrow v_{x}(x_{Q}-x_{P})+v_{y}(y_{Q}-y_{P})=0\Leftrightarrow v_{x}\Delta x=-v_{y}\Delta y$

sendo $v_{y}={\sqrt {1-v_{x}^{2}}}$ ,

$v_{x}\Delta x=-{\sqrt {1-v_{x}^{2}}}\Delta y\Leftrightarrow v_{x}^{2}{\Delta x}^{2}=(1-v_{x}^{2}){\Delta y}^{2}$

$\Leftrightarrow {\frac {{\Delta x}^{2}}{{\Delta y}^{2}}}={\frac {1-v_{x}^{2}}{v_{x}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \left({\frac {\Delta x}{\Delta y}}\right)^{2}+1={\frac {1}{v_{x}^{2}}}$

$\Leftrightarrow v_{x}={\sqrt {\frac {1}{\left({\frac {\Delta x}{\Delta y}}\right)^{2}+1}}}$

Sendo $h_{Z}$ a altura de $Z$ relativamente a $[AB]$ , tem-se que

$h_{Z}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$ , e que $Z=({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}})$

Sendo $h_{X}$ a altura de $X$ relativamente a $[BC]$ , tem-se que

$h_{X}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}$ , e que $X=M_{[BC]}+{\vec {a}}$

Notas

↑ $A_{[POO']}={\tfrac {1}{6}}A_{[PQR]}\Leftrightarrow h'={\tfrac {\sqrt {3}}{6}}l$

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Napoleao Categoria:Geometria Napoleao Categoria:Napoleão Bonaparte

[nota1-1] $A_{[POO']}={\tfrac {1}{6}}A_{[PQR]}\Leftrightarrow h'={\tfrac {\sqrt {3}}{6}}l$

[nota 1]