Abrir menu principal
Question book-4.svg
Esta página cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo (desde novembro de 2013). Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável poderá ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

Em álgebra abstracta, um anel noetheriano é um anel comutativo que satisfaz a condição da cadeia ascendente para ideais. O termo noetheriano é uma homenagem à matemática alemã Emmy Noether.

Anéis de polinômios sobre corpos possuem muitas propriedades especiais; propriedades que derivam do fato de que anéis polinomiais não são em certo sentido "grandes demais". Emmy Noether descobriu que uma propriedade fundamental dos anéis de polinômios é a propriedade da cadeia ascendente para ideais.

Para anéis não-comutativos, devemos fazer algumas distinções entre conceitos similares:

  • Um anel é dito noetheriano à esquerda caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à esquerda.
  • Um anel é dito noetheriano à direita caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à direita.
  • Um anel é dito noetheriano caso seja noetheriano tanto à esquerda quanto à direita.

Para anéis comutativos as três definições coincidem.

Índice

Caracterização dos anéis noetherianosEditar

Existem outras definições equivalentes para anel noetheriano:

  • Todo ideal   é finitamente gerado, isto é, existem   em   tais que todo elemento de   pode ser escrito na forma   onde  [1]
  • Todo subconjunto não-vazio de ideais de   possui ideal maximal com respeito à inclusão.[1]

Resultados similares existem para anéis noetherianos à esquerda e à direita.

É sabido que para um anel comutativo   se todo ideal primo for finitamente gerado, então   é noetheriano.

Utilização dos anéis noetherianosEditar

A propriedade noetheriana é central na teoria dos anéis e em áreas que utilizam de forma intensiva o conceito de anéis, como a geometria algébrica e a teoria de singularidades. A razão para isto é que a propriedade noetheriana é uma espécide de conceito de finitude na teoria dos anéis. Por exemplo, a propriedade noetheriana de que todo anel de polinômios com coeficientes em um dado corpo é noetheriano permite-nos provar que um sistema infinito de equações polinomiais pode ser substituído por um sistema finito de equações polinomiais com as mesmas soluções.

Como outra aplicação, mencionamos o teorema do ideal principal de Krull: todo ideal principal em um anel comutativo noetheriano tem altura um. Este foi o primeiro resultado a sugerir que os anéis noetherianos constituem uma profunda teoria da dimensão.

ExemplosEditar

  • O anel dos inteiros  
  • Qualquer corpo, pois um corpo possui apenas os ideais triviais.
  •   onde   é um corpo.

Temos também os seguintes exemplos de anéis que não são noetherianos:

  • O anel dos polinômios em infintas variáveis,   A sequência de ideais   é ascendente, e não é estacionária.
  • O anel   das funções contínuas de   Definindo para cada inteiro positivo   temos que a cadeia de ideais   não é estacionária.

PropriedadesEditar

  • Pelo teorema da base de Hilbert,   é noetheriano.
  • Dado um ideal   num anel comutativo   temos que   é noetheriano.
  • Toda álgebra comutativa finitamente gerada sobre um corpo é um noetheriana.
  • Todo anel artiniano à esquerda, (resp. à direita), é um anel noetheriano à esquerda, (resp. à esquerda), pelo teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki.
  • Um anel   é noetheriano à esquerda se, e somente se, todo  -módulo é um módulo noetheriano.

ReferênciasEditar

  1. a b Lam, 2001, p. 19
  • Lang, Serge (1994). Algebra 3 ed. [S.l.]: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 9780201555400 
  • Lam, T.Y. (2001). A first course in noncommutative rings 2 ed. New York: Springer. p. 19. ISBN 0387951830