Teoria das singularidades

Em matemática, a teoria das singularidades estuda e classifica os germes de aplicações diferenciáveis em espaços euclidianos. A teoria das singularidades emprega ferramentas de diversas áreas, como topologia diferencial, álgebra comutativa e topologia algébrica.

Existem diversas aplicações para a teoria das singularidades, como o estudo da geometria extrínseca, o estudo de cáusticas em óptica e o estudo das transições de fase em mecânica estatística.

O conceito de germeEditar

Sejam  , e   tal que   é uma vizinhança aberta de   e   é de classe  . Dizemos que duas aplicações   estão relacionadas caso exista uma vizinhança   contendo  , e de forma que   e   coincidam em  . Escrevemos, então,   ~ .

~ define uma relação de equivalência sobre  .

Como   ~   e  ~  implica   ~ , temos que   módulo ~ define um espaço vetorial.

Denotaremos tal espaço vetorial por  . Os elementos de   são chamados de germes de aplicações diferenciáveis em  . Note que apenas o comportamento local de uma aplicação   é levado em conta ao se definir o seu germe. Ou seja, se  , e   e   são diferentes apenas num conjunto a uma distância positiva de  , então   ~  , o que implica que   e   definem o mesmo germe.

Se  , ainda denotaremos por   a sua classe de equivalência em  .

Definição de singularidadeEditar

Dizemos que   é um ponto singular de uma aplicação diferenciável   caso   não tenha posto máximo, ou seja, caso a diferencial   não seja nem injetora nem sobrejetora.

Dizemos que um germe   é singular caso algum representante de   em   seja singular.

Motivação da teoriaEditar

No caso em que  , a definição acima implica que para uma aplicação singular não podemos aplicar o teorema da função inversa para garantir a existência de inversa local ao redor de p. Isto acontece, por exemplo, quando consideramos uma função suave   cujas derivadas parciais se anulam em 0. Apesar de 0 ser uma singularidade para esta função, podemos ainda assim obter algumas informações sobre   analisando sua matriz Hessiana  . Pelo teorema de Morse, se   for invertível, podemos escrever a série de Taylor de f de ordem menor ou igual a dois, via mudança suave de coordenadas, na seguinte forma:

 , onde os  's valem um ou menos um.

Dizemos que f é uma função de Morse ao redor da origem.

O objetivo da Teoria das Singularidades é estudar e classificar as patologias decorrentes da ausência de uma inversa local ao redor de um determinado ponto do domínio de uma função diferencíavel. Tal estudo têm suas origens nos trabalhos de matemáticos como Marston Morse, Hassler Whitney, Vladimir Arnold e René Thom.[1][2]

Referências

  1. R . THOM, Stabilité structurelle et Morphogénèse, InterEditions, Paris, 1972 Paraboles et Catastrophes, Flammarion, Paris 1983.
  2. GIBSON, C.G. - Singular points of smooth mappings, Research Notes in Maths., 25, Pitman, 1979. 4