Abrir menu principal

Função contínua

tipo de função entre espaços em matemática

Um pouco de históriaEditar

"...   será chamado de função contínua, se ... os valores numéricos da diferença   diminuem arbitrariamente, conforme   varie ... "[1]

Cauchy (1821) introduziu o conceito de função contínua, onde pequenas variações em x produzem pequenas variações em  . Weierstrass (1874) reformulou a definição de Cauchy, onde a diferença   será arbitrariamente pequena, se a diferença   for suficientemente pequena.

Posteriormente, com um tratamento mais rigoroso da matemática e a consequente evolução do pensamento matemático, as funções contínuas foram abstraídas para outros campos além da análise: álgebra linear, álgebra abstrata, física matemática, etc.

Definições de continuidadeEditar

Em matemática, uma função é contínua quando, intuitivamente, as pequenas variações nos objetos correspondem a pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é descontínua, ou que se trata de um ponto de descontinuidade.

Em espaço topológicoEditar

Diz-se que uma função   entre espaços topológicos é contínua se a imagem recíproca de qualquer aberto de   é um aberto de  

ExemplosEditar

 
Esta função é descontínua nos inteiros.

Estes exemplos usam propriedades da imagem recíproca, ou seja, dada uma função   e um conjunto   o conjunto  

  • Seja   um conjunto com a topologia discreta     com qualquer topologia, então qualquer função   é contínua.

Basta ver que,   aberto temos que,   e portanto é aberto, o que mostra que   é uma função contínua.

  • Seja   um conjunto com a topologia grosseira     com qualquer topologia, então qualquer função   é contínua.

De fato, pois, como os dois únicos abertos de   são   e   basta verificar se suas imagens inversas são abertos. Mas   e   e, por definição,   e   são abertos em qualquer topologia em  

  • Sejam   e   funções contínuas. Então   também é uma função contínua.

Fato pois: qualquer que seja   aberto, pela continuidade de   temos que   é um aberto em   Portanto, pela continuidade de     é um aberto em   Mas   o que prova a continuidade de  


Em espaço métrico

Diz-se que uma função   é contínua no ponto   se   é um ponto isolado do domínio ou, caso seja ponto de acumulação de   se existir o limite de   com   tendendo a   e esse limite for igual a  

OBS.: Não faz sentido calcular limites em pontos que não são de acumulação. Caso insistíssemos teríamos que qualquer valor seria limite de   com   tendendo a  

Em análise real, essa definição é escrita na forma tradicional Epsilon-Delta, ou seja, diz-se que uma função   é contínua num ponto   do seu domínio se, dado   tal que   então  

Esta definição, com uma pequena adaptação, pode ser usada para uma função de um espaço métrico   em outro espaço métrico   a função   é contínua em   quando dado   tal que  

Em termos de bolas, dados dois espaços métricos   dizemos que a aplicação   é contínua em   se, dada uma bola aberta   de centro   e raio   pode-se encontrar uma bola   de centro   e raio   tal que   [2]

Diz-se que f é contínua em seu domínio, ou simplesmente contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.

ExemploEditar

  • Seja     e   espaços métricos não vazios. Se   tivermos que   então a aplicação   é contínua e a constante   é chamada de constante de Lipschitz. Na reta Real toda aplicação Lipschitiziana é uniformemente contínua.

Equivalência das definiçõesEditar

Se   e   são espaços métricos, e   as topologias geradas pelas métricas em   e   então uma função   é contínua pela definição topológica se, e somente se, ela é contínua pela definição métrica.

Em termos de limitesEditar

Uma função   é dita ser contínua em um ponto   de seu domínio se:

 
Observa-se que esta definição exige que o limite à esquerda exista assim como o limite da direita e que a função esteja definida no ponto com o mesmo valor de limite para o ponto.

Função sequencialmente contínuaEditar

Uma função   em que   e   são espaços topológicos, é sequencialmente contínua em um ponto   quanto ela comuta com o limite de sequências, ou seja, quando para toda sequência   cujo limite (em  ) seja   temos que o limite (em  ) de   é   Uma forma elegante de escrever isso é  

PropriedadesEditar

  • Função Composta: Se   e   são funções contínuas, então é imediato (pela definição topológica) que a função composta   é contínua.
  • Se   é uma bijeção contínua de um espaço topológico compacto   em um espaço topológico de Hausdorff   então   é um homeomorfismo.
  • O conjunto dos zeros de uma aplicação contínua entre um espaço topológico   e a reta real   com a topologia usual, é um conjunto fechado. Em particular, o conjunto das matrizes singulares é fechado em   pois o determinante define uma aplicação contínua nesse espaço.
  • Sejam   e   dois espaços topológicos,   e   uma aplicação contínua. Então   restrita a   ainda é uma aplicação contínua.

Funções contínuas e suas relaçõesEditar

Álgebra Linear[3]Editar

Considere um conjunto  e o conjunto definido por todas as funções reais  . Temos que,  assume a estrutura de espaço vetorial a partir das operações de soma e produto por escalar usuais de funções reais, a saber,  onde  e  . Seja   e defina então o conjunto  das funções contínuas reais. Ora, visto que  , a soma de funções contínuas é função contínua e que o produto por escalar é função contínua, temos que  é subespaço vetorial de  .

Teorema da esfera cabeluda [4]Editar

O conceito de continuidade permite ser também para campos vetoriais[5], tendo então campos vetoriais contínuos. Com isso, temos uma aplicação belíssima do conceito de continuidade em um teorema chamado de Esfera Cabeluda. Eis sua interpretação, informalmente:

"... muitos dos leitores confrontam-se todas as manhãs com o teorema da bola cabeluda, ao tentarem pentear o seu cabelo e verificando que há um redemoinho persistente no topo das suas cabeças. De um modo simplificado, o teorema afirma que não é possível “pentear-se” uma superfície esférica coberta de “cabelo” sem se formarem “redemoinhos” de algum tipo." [6]

Isto pelo fato da superfície esférica admite um campo vetorial contínuo. Também, o teorema da esfera cabeluda é uma consequência de um teorema de Poincaré sobre superfícies contínuas.

Gravação digital [7]Editar

As funções contínuas são muito úteis em gravações digitais, como por exemplo, em mídias de CD e DVD. Suponhamos que você esteja querendo gravar com seu celular uma aula de uma determinada disciplina. Como isso funciona? O(A) professor(a) emite uma onda sonora que é uma função contínua, porém como funções contínuas exigiriam uma capacidade de memória muito grande do seu celular (pois são infinitas), o que ele faz na verdade é gravar pedaços da onda sonora a cada segundo (isto é, com uma alta frequência), discretizando a função contínua. Com isso, seu celular tem informações suficientes para reproduzir o som como se fosse seu(sua) professor(a).

Administração e Economia[8]Editar

A maioria das funções que modelam os fenômenos econômicos são de natureza discreta e possuem descontinuidades finitas, do tipo função escada. As funções preço e custo são discretas, devido à natureza da mercadoria, ou possuem descontinuidade pois o custo e preço decrescem (crescem) instantaneamente. As funções oferta e demanda também são comumente discretas e apresentam descontinuidades.



ReferênciasEditar

  • Munkres, J. (1966). Elementary Differential Topology, edição revisada. Col: Annals of Mathematics Studies 54. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 0-691-09093-9 
  • Lima, Elon Lages (2013). Análise Real - Funções de uma variável. Col: Coleção Matemática Universitária. 1 12ª ed. [S.l.]: IMPA. 198 páginas. ISBN 978-85-244-0048-3 
  1. CAUCHY (1821). Cours d’Analyse. [S.l.: s.n.] 
  2. LAGES, Elon (1977). Espaços métricos. Rio de Janeiro: IMPA. 32 páginas 
  3. LIMA,, Elon Lages (2016). Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 3,4 
  4. «Teorema da esfera cabeluda» 
  5. «Campos vetoriais» 
  6. NUNES, João Pimentel. «"O Teorema da Bola Cabeluda"» (PDF). Dep. Matem´atica, IST, Lisboa 
  7. «How Analog and Digital Recording Works» 
  8. WEBER, Jean E. (2001). Matemática para economia e administração. São Paulo: HARBRA. pp. 149–153