Autoproblema não linear

Em matemática, um autoproblema não linear, às vezes um problema de autovalor não linear, é uma generalização do problema de autovalor (comum) para equações que dependem não linearmente do autovalor. Especificamente, refere-se a equações da forma

$M(\lambda )x=0,$

em que $x\neq 0$ é um vetor, e $M$ é uma função a valores matriciais do número $\lambda$. O número $\lambda$ é conhecido como o autovalor (não linear), o vetor $x$ como autovetor (não linear), e $(\lambda ,x)$ como um par próprio. A matriz $M(\lambda )$ é singular em um autovalor $\lambda$.

Definição

Na disciplina de álgebra linear numérica, normalmente é utilizada a seguinte definição.

Seja $\Omega \subseteq \mathbb {C}$, e seja $M:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n\times n}$ uma função que leva escalares em matrizes. Um escalar $\lambda \in \mathbb {C}$ é chamado de autovalor, e um vetor não nulo $x\in \mathbb {C} ^{n}$ é chamado de autovetor à direita se $M(\lambda )x=0$. Além disso, um vetor não nulo $y\in \mathbb {C} ^{n}$ é chamado de autovetor à esquerda se $y^{H}M(\lambda )=0^{H}$, onde o sobrescrito $^{H}$ denota a transposição hermitiana. A definição de autovalor é equivalente a $\det(M(\lambda ))=0$, em que $\det()$ denota o determinante.

Geralmente exige-se que a função $M$ seja uma função holomorfa de $\lambda$ (em algum domínio $\Omega$)

Em geral, $M(\lambda )$ poderia ser uma transformação linear, mas mais comumente é uma matriz de dimensão finita, geralmente quadrada.

Definição: O problema é considerado regular se existir algum $z\in \Omega$ tal que $\det(M(z))\neq 0$. Caso contrário, é considerado singular.

Definição: diz-se que um autovalor $\lambda$ tem multiplicidade algébrica $k$ se $k$ é o menor inteiro tal que a $k$-ésima derivada de $\det(M(z))$ em relação a $z$ em $\lambda$ é diferente de zero. Em fórmulas, isso significa que $\left.{\frac {d^{k}\det(M(z))}{dz^{k}}}\right|_{z=\lambda }\neq 0$ mas $\left.{\frac {d^{\ell }\det(M(z))}{dz^{\ell }}}\right|_{z=\lambda }=0$ para $\ell =0,1,2,\dots ,k-1$.

Definição: a multiplicidade geométrica de um autovalor $\lambda$ é a dimensão do espaço nulo de $M(\lambda )$.

Casos especiais

Os exemplos a seguir são casos especiais do problema de autovalor não linear.

• O problema de autovalor (usual): $M(\lambda )=A-\lambda I.$
• O problema de autovalor generalizado: $M(\lambda )=A-\lambda B.$
• O problema de autovalor quadrático: $M(\lambda )=A_{0}+\lambda A_{1}+\lambda ^{2}A_{2}.$
• O problema de autovalor polinomial: $M(\lambda )=\sum _{i=1}^{m}\lambda ^{i}A_{i}.$
• O problema de autovalor racional: $M(\lambda )=\sum _{i=1}^{m_{1}}A_{i}\lambda ^{i}+\sum _{i=1}^{m_{2}}B_{i}r_{i}(\lambda ),$ em que $r_{i}(\lambda )$ são funções racionais.
• O problema de autovalor com atraso: $M(\lambda )=-I\lambda +A_{0}+\sum _{i=1}^{m}A_{i}e^{-\tau _{i}\lambda },$ em que $\tau _{1},\tau _{2},\dots ,\tau _{m}$ são escalares dados, conhecidos como atrasos.

Cadeias de Jordan

Definição: Let $(\lambda _{0},x_{0})$ um autopar. Uma tupla de vetores $(x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}$ é chamada de cadeia de Jordan se

$$\sum _{k=0}^{\ell }M^{(k)}(\lambda _{0})x_{\ell -k}=0,$$

para $\ell =0,1,\dots ,r-1$, em que $M^{(k)}(\lambda _{0})$ denota a $k$-ésima derivada de $M$ em relação a $\lambda$ e avaliada em $\lambda =\lambda _{0}$. Os vetores $x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1}$ são chamados de autovetores generalizados, $r$ é chamado de comprimento da cadeia Jordan, e o comprimento máximo de uma cadeia Jordan começando com $x_{0}$ é chamado de rank de $x_{0}$.

Teorema: Uma tupla de vetores $(x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}$ é uma cadeia de Jordan se, e somente se, a função $M(\lambda )\chi _{\ell }(\lambda )$ tem uma raiz em $\lambda =\lambda _{0}$ e a raiz é de multiplicidade pelo menos $\ell$ para $\ell =0,1,\dots ,r-1$, em que a função a valores vetoriais $\chi _{\ell }(\lambda )$ é definida como

$$\chi _{\ell }(\lambda )=\sum _{k=0}^{\ell }x_{k}(\lambda -\lambda _{0})^{k}.$$

Não linearidade de autovetor

A não linearidade de autovetores é uma forma de não linearidade relacionada, mas diferente, que às vezes é estudada. Neste caso, a função $M$ leva vetores em matrizes, ou às vezes matrizes hermitianas em matrizes hermitianas.

Leitura complementar

• Françoise Tisseur e Karl Meerbergen, "The quadratic eigenvalue problem," SIAM Review 43 (2), 235-286 (2001) (link).
• Gene H. Golub e Henk A. van der Vorst, "Eigenvalue computation in the 20th century," Journal of Computational and Applied Mathematics 123, 35-65 (2000).
• Philippe Guillaume, "Nonlinear eigenproblems," SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20 (3), 575–595 (1999) (link).
• Cedric Effenberger, "Robust solution methods fornonlinear eigenvalue problems", tese de doutorado EPFL (2013) (link)
• Roel Van Beeumen, "Rational Krylov methods fornonlinear eigenvalue problems", tese de doutorado KU Leuven (2015) (link)