Axiomas de probabilidade

Os axiomas da probabilidade (ou axiomas de Kolmogorov) são a definição geralmente dada para se referir para as três propriedades de uma serie de subconjuntos de S

Os axiomas da probabilidade ou os axiomas de Kolmogorov são uma definição geralmente usada para se referir para as três propriedades de uma série de subconjuntos de , chamado de álgebra sigma (ou campo de Borel), denotado por , se satisfaz às propriedades:

  • (o conjunto vazio é um elemento de );
  • Se ;
  • Se A1, A2, ....[1].

Na teoria da probabilidade de Kolmogorov, a probabilidade de algum evento , denotado por , geralmente é definida tal que satisfaz os axiomas de Kolmogorov. O termo é em homenagem ao famoso matemático russo Andrey Kolmogorov, que são descritos abaixo.[2]

Essas premissas podem ser resumidas como: seja (Ω, F, P) um espaço de medida intervalo com P (Ω) = 1. Então (Ω, F, P) é um espaço de probabilidade, com a amostra Ω espaço, para eventos F e medida de probabilidade P. Uma abordagem alternativa para formalizar a probabilidade, favorecido por alguns Bayesianos, é dado pelo Teorema de Cox. Os axiomas de Kolmogorov são uma definição geralmente usada para se referir para as três propriedades de uma série de subconjuntos de ,chamado de álgebra sigma (ou campo de Borel), denotado por , se satisfez as propriedades: (a) (o conjunto vazio é um elemento de ); (b) Se ; e (c) Se A1, A2, ....[1]

AxiomasEditar

Primeiro axiomaEditar

A probabilidade de um evento é um número real não negativo:

 

Onde   é o espaço do evento. Em particular,   É sempre finito, em contraste com mais geral da Teoria da Medida. Teorias que atribuem a probabilidade negativa e relaxar o primeiro axioma.

Segundo axiomaEditar

Este é o pressuposto da unidade de medida : é que a probabilidade de que algum evento elementar em todo o espaço da amostra irá ocorrer é 1. Mais especificamente, não há eventos elementares fora do espaço amostral.

 

Este é muitas vezes esquecido em alguns cálculos de probabilidade equivocadas, se você não pode definir com precisão todo o espaço amostral, então a probabilidade de qualquer subconjunto não pode ser definido.

Terceiro axiomaEditar

Este é o pressuposto de σ-aditividade:

Qualquer sequência contável de conjuntos disjuntos (' sinônimo mutuamente exclusivos)   satisfaz;

 

Alguns autores consideram apenas finitamente e aditivos os espaços de probabilidade, caso em que se necessita apenas de uma Álgebra de conjuntos, em vez de um σ-álgebra. Na Distribuição Quasiprobability, em geral é de relaxar o terceiro axioma.

ConsequênciasEditar

A partir dos axiomas de Kolmogorov , pode-se deduzir outras regras úteis para cálculo de probabilidades.

MonotoniaEditar

 

A probabilidade do conjunto vazioEditar

 

O limite numéricoEditar

Ele segue imediatamente a partir da propriedade de monotonicidade:

 

ProvasEditar

As provas dessas propriedades são interessantes e esclarecedoras. Eles ilustram o poder do terceiro axioma, e sua interação com os restantes dois axiomas. Ao estudar teoria da probabilidade axiomática, muitas conseqüências profundas seguem a partir desses três meros axiomas. A fim de verificar a propriedade de monotonicidade, partimos:   and  ,Quando   for  . É fácil de ver que os conjuntos  .São disjuntos dois a dois e  . Assim, obtemos a partir do terceiro axioma de que:

 

Desde a esquerda o lado desta equação é uma série de números não-negativos, e que converge para:

  o qual é finito, obtem-se ambos   e  .

A segunda parte da declaração é visto por contradição se:   em seguida o lado esquerdo não é inferior a:

 

Se   obtemos uma contradição, para que a soma não ultrapasse   que é finito. Assim,  . Nós mostramos como um subproduto da prova de monotonia que  .

Mais consequênciasEditar

Outra propriedade importante é:

 

Esta é a chamada lei além de probabilidade, ou a regra da soma. Ou seja, a probabilidade de que A' ou' B irá acontecer é a soma das probabilidades de que A vai acontecer e que B vai acontecer, menos a probabilidade de que ambos A' e' B vao acontecer. Isso pode ser estendido para o princípio da inclusão-exclusão .

 

Ou seja, a probabilidade de que qualquer evento não acontecer é 1 menos a probabilidade de que isso acontecerá.

Exemplo simples: moeda-lanceEditar

Considere um lançamento único de uma moeda, assuma que a moeda será ou cara (H) ou coroa (T) (mas não ambos). A suposição é feita para saber se a moeda é honesta (Isto é, sua distribuição de massa é igualitária e sem deformidades que a faça tender para um dos lados). Podemos definir:

 
 

Axiomas de Kolmogorov implicam que:

 

A probabilidade de' cara ou coroa, é 1.

 

A probabilidade de' cara mais coroa, é 1.

 

A soma da probabilidade de cara e a probabilidade de coroas, é 1.

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b Probability Theory por Faming Liang publicado pelo "Department of Statistics, Texas A&M University"
  2. FOUNDATIONS. OF THE. THEORY OF PROBABILITY por A.N. KOLMOGOROV. publicado por "CHELSEA PUBLISHING" Segunda English Edição (1956)

BibliografiaEditar

Ligações externasEditar