Axiomas de probabilidade
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Os axiomas da probabilidade ou os axiomas de Kolmogorov são uma definição geralmente usada para se referir para as três propriedades de uma série de subconjuntos de , chamado de álgebra sigma (ou campo de Borel), denotado por , se satisfaz às propriedades:
- ∈ (o conjunto vazio é um elemento de );
- Se ∈ ;
- Se A1, A2, ... ∈ .[1].
Na teoria da probabilidade de Kolmogorov, a probabilidade de algum evento , denotado por , geralmente é definida tal que satisfaz os axiomas de Kolmogorov. O termo é em homenagem ao famoso matemático russo Andrey Kolmogorov, que são descritos abaixo.[2]
Essas premissas podem ser resumidas como: seja (Ω, F, P) um espaço de medida intervalo com P (Ω) = 1. Então (Ω, F, P) é um espaço de probabilidade, com a amostra Ω espaço, para eventos F e medida de probabilidade P. Uma abordagem alternativa para formalizar a probabilidade, favorecido por alguns Bayesianos, é dado pelo Teorema de Cox. Os axiomas de Kolmogorov são uma definição geralmente usada para se referir para as três propriedades de uma série de subconjuntos de ,chamado de álgebra sigma (ou campo de Borel), denotado por , se satisfez as propriedades: (a) ∈ (o conjunto vazio é um elemento de ); (b) Se ∈ ; e (c) Se A1, A2, ... ∈ .[1]
AxiomasEditar
Primeiro axiomaEditar
A probabilidade de um evento é um número real não negativo:
Onde é a -álgebra. Em particular, é sempre finito, em contraste com mais geral da Teoria da Medida. Teorias que atribuem a probabilidade negativa e relaxar o primeiro axioma.
Segundo axiomaEditar
Este é o pressuposto da unidade de medida : é que a probabilidade de que algum evento elementar em todo o espaço da amostra irá ocorrer é 1. Mais especificamente, não há eventos elementares fora do espaço amostral.
Este é muitas vezes esquecido em alguns cálculos de probabilidade equivocadas, se você não pode definir com precisão todo o espaço amostral, então a probabilidade de qualquer subconjunto não pode ser definido.
Terceiro axiomaEditar
Este é o pressuposto de σ-aditividade:
Qualquer sequência contável de conjuntos disjuntos (sinônimo de eventos mutuamente exclusivos) satisfaz
Alguns autores consideram apenas finitamente e aditivos os espaços de probabilidade, caso em que se necessita apenas de uma Álgebra de conjuntos, em vez de um σ-álgebra. Na Distribuição Quasiprobability, em geral é de relaxar o terceiro axioma.
ConsequênciasEditar
A partir dos axiomas de Kolmogorov , pode-se deduzir outras regras úteis para cálculo de probabilidades.
MonotoniaEditar
A probabilidade do conjunto vazioEditar
O limite numéricoEditar
Ele segue imediatamente a partir da propriedade de monotonicidade:
ProvasEditar
As provas dessas propriedades são interessantes e esclarecedoras. Eles ilustram o poder do terceiro axioma, e sua interação com os restantes dois axiomas. Ao estudar teoria da probabilidade axiomática, muitas conseqüências profundas seguem a partir desses três meros axiomas. A fim de verificar a propriedade de monotonicidade, partimos: and ,Quando for . É fácil de ver que os conjuntos .São disjuntos dois a dois e . Assim, obtemos a partir do terceiro axioma de que:
Desde a esquerda o lado desta equação é uma série de números não-negativos, e que converge para:
- o qual é finito, obtêm-se ambos e .
A segunda parte da declaração é visto por contradição se: em seguida o lado esquerdo não é inferior a:
Se obtemos uma contradição, para que a soma não ultrapasse que é finito. Assim, . Nós mostramos como um subproduto da prova de monotonia que .
Mais consequênciasEditar
Outra propriedade importante é:
Esta é a chamada lei além de probabilidade, ou a regra da soma. Ou seja, a probabilidade de que A' ou' B irá acontecer é a soma das probabilidades de que A vai acontecer e que B vai acontecer, menos a probabilidade de que ambos A' e' B vão acontecer. Isso pode ser estendido para o princípio da inclusão-exclusão.
Ou seja, a probabilidade de que qualquer evento não acontecer é 1 menos a probabilidade de que isso acontecerá.
Exemplo simples: moeda-lanceEditar
Considere um lançamento único de uma moeda, assuma que a moeda será ou cara (H) ou coroa (T) (mas não ambos). A suposição é feita para saber se a moeda é honesta (Isto é, sua distribuição de massa é igualitária e sem deformidades que a faça tender para um dos lados). Podemos definir:
Axiomas de Kolmogorov implicam que:
A probabilidade de' cara ou coroa, é 1.
A probabilidade de' cara mais coroa, é 1.
A soma da probabilidade de cara e a probabilidade de coroas, é 1.
Ver tambémEditar
Referências
- ↑ a b Probability Theory por Faming Liang publicado pelo "Department of Statistics, Texas A&M University"
- ↑ FOUNDATIONS. OF THE. THEORY OF PROBABILITY por A.N. KOLMOGOROV. publicado por "CHELSEA PUBLISHING" Segunda English Edição (1956)
BibliografiaEditar
- Von Plato, Jan, 2005 ", der Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung" em Grattan-Guinness, I., ed Escritos marco na Matemática ocidentais.. Elsevier: 960-69. (em inglês)
- Glenn Shafer; Vladimir Vovk. «As origens e o legado de Kolmogorov de Grundbegriffe» (PDF)
Ligações externasEditar
- # KolProCal Kolmogorov `s cálculo de probabilidades, Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- # M2 Definição formalde probabilidade no sistema de Mizar, e a lista de teoremas formalmente provado sobre isso.