Braquistócrona

Denomina-se braquistócrona a trajectória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se que a questão não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas condições dadas é a reta que os une, mas sim, qual trajectória é percorrida no menor tempo.

Trajetória de uma partícula que se desloca ao longo de três trajetórias diferentes. A curva em vermelho é a braquistócrona.

EtimologiaEditar

A palavra braquistócrona vem do grego brakhisto (o mais curto) e chronos (tempo).[carece de fontes?]

HistóriaEditar

Citação
«Que aquele que consiga solucionar este problema conquiste o prémio que prometemos. Este prémio não é ouro nem prata (...) mas antes as honras, os elogios e os aplausos; (...) exaltaremos, pública e privadamente, por palavra e por carta, a perspicácia do nosso grande Apollo.»
Johann Bernoulli-proclamação de 1697 [1]

O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses, fazerem o mesmo. Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que foi aceito.

Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do próprio, a do seu irmão Jacob, a de Leibniz, a de L'Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde).

Citação
«Reconheço o leão pela sua garra.»
Comentário atribuído a Johann Bernoulli referindo-se a Newton, a propósito da solução anónima apresentada[1]

Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha recta. Esse menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de ciclóide.

Demonstração por BernoulliEditar

 
Qual a mais rápida trajetória? Experimento no Museu Estadual da Técnica e Trabalho, Mannheim

Pelo Princípio de Fermat o caminho mais rápido entre dois pontos é o que segue um raio de luz. A curva Braquistócrona corresponderá assim ao trajeto seguido pela luz num meio em que a velocidade aumenta segundo uma aceleração constante (a força da gravidade g).

A lei da conservação de energia permite expressar a velocidade de um corpo submetido à atracção terrestre pela fórmula:

 ,

onde h representa a perda de altitude em relação ao ponto de partida. De notar que não depende do ponto de partida horizontal.

A lei da refracção indica que um raio luminoso ao longo da sua trajectória obedece à regra:

 ,

onde   representa o ângulo em relação à vertical e   uma constante.

Inserindo nesta fórmula a expressão da velocidade acima, tiram-se de imediato duas conclusões:

1- No ponto de partida, visto que a velocidade é nula, o ângulo também é nulo. Logo a curva braquistócrona é tangente à vertical na origem.

2- A velocidade é limitada, pois o seno não pode ser superior a 1. Esta velocidade máxima á atingida quando a partícula (ou o raio) passa pela horizontal.

Sem prejudicar a generalidade do problema, supõe-se que a partícula parta do ponto de coordenadas (0,0) e que a velocidade máxima seja atingida à altitude –D. A lei da refracção exprime-se então por:

 .

Num ponto qualquer da trajectória podemos aplicar a relação:

 .

Inserindo esta expressão na fórmula precedente e arrumando os termos da mesma obtém-se:

 .

Que corresponde à equação diferencial do oposto de uma cicloide gerado pelo diâmetro D.

Formalização do problemaEditar

Considere uma curva suave   no plano   unindo dois pontos fixos   e  . (Suponha que  ). O tempo   necessário para que uma partícula localizada na posição   percorra a curva   de   até   é dado por

 

Assumimos que a força gravitacional terrestre atua no sentido negativo do eixo  . Assim uma partícula localizada na posição  e que desliza ao longo de   sob a força da gravidade, terá energia cinética e energia potencial dadas respectivamente como   e  , em que   é a massa da partícula. Pela conservação de energia, temos

 

onde a partícula começa no repouso em   com energia cinética inicial zero e energia potencial igual  . Consideramos sem perda de generalidade que   é parametrizada por

 

para alguma função   adequada temos

 

Portanto,

 

Para qualquer   em  .

Solução por meio do cálculo variacionalEditar

Para facilitar, vamos considerar , na seção de formalização do problema,   e  , assim adaptando (1), temos

 

Agora, precisamos encontrar a função  que minimize (2) , com as condições de fronteiras dadas.

Considere então a função  . Assim,  . A condição necessária para termos um extremo para o funcional é dada pela equação de Euler-Lagrange  , como neste caso o funcional não depende de  , tem-se  , deste modo, temos

 

Isto é,

 

Para resolvermos esta equação diferencial vamos inserir um parâmetro  . Então considere   e assim , tem-se

 

Assim,

 

Derivando  em relação à  ,temos   e como  , logo

 

isto é,

 

Desta forma uma parametrização para  é dada por   e fazendo  ,   e como  , então  , assim ficamos com   e  .Assim, a curva   que é um arco de cicloide é candidata a extremo do funcional.

Vamos agora verificar as condições suficientes para mostrar que a curva   minimiza o funcional. Observe que o feixe de cicloide   e   com o centro   forma um campo central que inclui o extremal

  e  

onde   é determinado pela condição de que a cicloide passa pelo ponto de fronteira  , então  .

Além disso, como  , então  

para qualquer  . Assim, verifica-se a condição suficiente para que o funcional assuma o mínimo na cicloide

  e  

Portanto temos a confirmação que a solução do problema da Braquistócrona é a cicloide.

Referências

  1. a b STRUIK, D.J. (ed.) (1969). A Source Book in Mathematics 1200-1800. Cambridge, MA: Harvard University Press. doi:10.1017/S0013091500009329  Texto "página651 " ignorado (ajuda)

BibliografiaEditar