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A vermelho uma ciclóide gerada por um círculo em movimento

Chama-se cicloide a curva definida por um ponto de uma circunferência que rola sem deslizar sobre uma reta[1].

Uma cicloide invertida é a solução para o problema da braquistócrona.

Desenho de uma ciclóide gerada por um circunferência de raio r=2

Um cicloide iniciado na origem de um sistema de eixos, criado por uma circunferência de raio r, consiste nos pontos (x,y) com

em que t é um parâmetro real, e corresponde ao centro do círculo que rola.

Se visto como uma função y(x), é diferenciável em toda a sua extensão excepto no ponto em que atinge o eixo do x; a inclinação nesse ponto corresponde a infinito. Satisfaz a equação diferencial:

Índice

HistóricoEditar

Antes da curva ser conhecida propriamente como cicloide, ela começou a ser estudada por Nicholas Cusa(1471 – 1464) e pelo teólogo matemático francês, Charles Bouvalles (1471 – 1553). O estudo de ambos não tratava da Cicloide em si, mas de algo muito similar a ela: a quadratura da circunferência. Em 1564, nasce o italiano Galileu Galilei, cientista, artista, com uma genialidade eminente. Como a história diz, Galileu um dia estava na janela, apenas observando o ambiente, quando começou a reparar no movimento da roda de uma charrete que passava. Interessado em descobrir que curva gerada por esse movimento, Galileu utilizou, primeiramente, chapas metálicas para demonstrá-la. Sem muito sucesso, Galileu sugeriu que a curva poderia formar um belo arco de uma ponte. Ele também concluiu que a área do arco da cicloide é exatamente três vezes a área do círculo que a gera. De fato, ele estava correto, o que foi demonstrado, posteriormente, por Roberval. Portanto, cabe a Galileu o batismo da curva.

 
Galileu Galilei

A “Helena da matemática” e o “Pomo da discórdia” foram nomes que representaram a Curva Cicloide no século XVI, tamanha era a discussão que ela gerou na época. O frade Marin Mersenne (1588 – 1688), que estudou com René Descartes, é conhecido pela sua famosa fórmula “primos de Mersenne”, também participou dessa história. Por intermédio de um colega da igreja em que trabalhou, conheceu os trabalhos de Galileu e em 1630 propôs um desafio para Descartes, Fermat, Roberval e outros matemáticos da época: sugeriu que a cicloide fosse a curva utilizada para os diferentes testes infinitesimais , gerando assim discussões sobre a curva.

Em 1658, Blaise Pascal, sentiu uma dor de dente fortíssima e não conseguia dormir por isso. Ao meio da dor, resolveu se distrair estudando a Curva Cicloide, e para seu espanto, a dor desapareceu. Tomou isso como um sinal de Deus, mostrando que estudar a matemática não lhe desagradava. Pascal, então, propôs alguns problemas sobre a resolução da Cicloide, propondo premiações aos participantes, o que acabou não acontecendo.

Após esse período, a Cicloide só voltou a ser discutida quando apareceram os problemas da Tautócrona e da Braquistócrona.

Parametrização da curva cicloideEditar

 
Figura 1 - Movimento da cicloide

A parametrização será feita pela decomposição de vetores. Para isso, será utilizado o Software Geogebra© como ferramenta de apoio para verificar o movimento da Cicloide com maior clareza.

O parâmetro é  variando entre   e a o raio da circunferência. Olhando para o “Passo 2” da Figura 1, os vetores estão indicados:

Iremos escrever o vetor  como:

 

Ao observar a Figura 2, verificamos que quando a circunferência gira um certo ângulo   o comprimento do segmento OT é igual ao arco   que nada mais é do que   isto é:

 

Portanto, os vetores   e  são:

 =  +  

 

  (l)

 
Figura 2 - Vetores

Logo,  é:

  (ll)

De (I) e (II), temos que:

 

Ao final, as equações paramétricas da Cicloide são:

 

 

Construções da cicloide e de suas retas tangente e normalEditar

 
Figura 3 - O ponto P gerando a curva cicloide

A construção da cicloide será feita por pontos, pois se trata de uma curva não construível com régua e compasso. Para se compreender tal construção, imagine que ao longo do período em que a circunferência geradora completa uma volta, sejam registrados flashes do seu movimento em diferentes intervalos de tempo, identificando algumas posições do ponto P gerador. Nas figuras seguintes, o comprimento do segmento   é igual ao comprimento da circunferência geradora. Além disso, tanto   quanto a circunferência estão divididos em oito partes iguais.

 
Figura 4 - O ponto P gerando a curva cicloide

Com raio P7 (ou P1) e centros em 1’ e 7’, traça-se arcos que determinam em s1 dois pontos da cicloide. Com raio P6 (ou P2) e centros em 2’ e 6’, traça-se arcos que determinam em s2 mais dois pontos. Com raio P5 (ou P3) e centros em 3’ e 5’, traça-se arcos que determinam em s3 mais dois pontos.

 
Figura 5 - A curva cicloide

Por fim, determina-se em s4 mais um ponto da cicloide, traçando-se por 4’ uma perpendicular a diretriz. Unindo-se de modo conveniente os pontos determinados obtém-se a cicloide.

Agora, passaremos à construção da tangente e da normal a uma cicloide por um ponto S. Por S traça-se uma paralela à diretriz determinando o ponto S′ em C. Seja T o ponto de tangência de C com a diretriz. Traça-se por S a reta n paralela à reta S′T. Por S traça-se a reta t perpendicular a n . As retas t e n são, respectivamente, a tangente e a normal à cicloide no ponto S.

 
Figura 6 - Retas normal e tangente

EncurtadaEditar

Se o ponto da curva estiver dentro da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide encurtada[2].

AlongadaEditar

Se o ponto da curva estiver fora da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide alongada.[2]

Referências

  1. Carvalho, Benjamin - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988, cap. 13, p. 278
  2. a b [1] Movimentos com vínculos, página visitada em 20-07-2011.

BibliografiaEditar

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

  1. Cordeiro, Ana Carolina (2013). «O que é a Curva Cicloide: Ideias Centrais no Ensino da Matemática» (PDF). Instituto Federal de São Paulo. Consultado em 4 de abril de 2019 
  2. Gilbert, Gayle. «Parametric Equations for a Cycloid». The University of Georgia. Consultado em 5 de abril de 2019 
  3. Morrison, Scott (1 de outubro de 1997). «The cycloid» (PDF). Consultado em 5 de abril de 2019 
  4. De Andrade; Filho (2015). «Uma abordagem geométrica ao problema da braquistócrona» (PDF). Universidade do estado do Rio de Janeiro. Consultado em 5 de abril de 2019