Cilindro

corpo alongado e de aspecto redondo, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento
Disambig grey.svg Nota: Para outros significados, veja Cilindro (desambiguação).

Em Geometria, um cilindro é o objeto tridimensional[1] delimitado pela superfície de translação completa de um segmento de reta que se move paralelamente a si mesmo, e se apoia em uma circunferência. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto redondo, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento. Ao considerar-se um prisma de base regular, e fazer o número de lados/vértices da base tender ao infinito, o prisma tenderá a um cilindro.

Um cilindro.

ElementosEditar

Os elementos do cilindro são[2]

  • Duas bases: são dois círculos congruentes e paralelos.
  • Geratrizes: segmentos congruentes e paralelos entre os pontos da circunferência de uma base e os pontos correspondentes na outra base.
  • Altura: distância entre os planos das bases.

ClassificaçãoEditar

Os cilindros podem ser divididos em duas categorias, referentes ao ângulo entre a sua altura e o plano da base:

  • Reto: se as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases;
  • Oblíquo: se as geratrizes são oblíquas (não-perpendiculares) aos planos das bases.

E, referente à relação entre a altura e o raio da base, apenas uma categoria relevante de classificação:

  • Equilátero: é todo cilindro reto em que a altura é igual ao diâmetro da base[2], ou seja
     
    Assim, a secção meridiana é um quadrado.

Área e volumeEditar

Cilindro retoEditar

Para um cilindro reto de raio   e altura  , o seu volume é:

 

A área da base é:

 

Sua área lateral é:

 

E sua área total é:

 

Ou seja:

 

OtimizaçãoEditar

Área mínimaEditar

Dado um volume fixo, pode-se descobrir qual a razão entre a altura e o raio de um cilindro reto para que a área seja mínima. Calcular a área mínima é útil em problemas de otimização de custo de produção, que deve ser diretamente proporcional à área.

Seja um cilindro reto de raio  , altura   e volume fixo  . A condição para que a área seja mínima é  .[3]

Inicialmente, o volume é dado por:

 
Em seguida, a área em função de   e   é:
 
Perceba que a função vai para o infinito positivo tanto quando o valor de   vai para   quanto para  . Logo, deve possuir um valor mínimo. O valor mínimo da função será um ponto crítico, quando a derivada for nula:
 
Igualando a equação volume-raio da área mínima com a equação inicial de volume:
 
Logo,
 
Portanto, o cilindro reto de menor área dado um volume fixo é o cilindro equilátero, em que a altura é igual ao diâmetro da base. Tal otimização também é equivalente a maximizar o volume, dada uma área fixa.

Ver tambémEditar

Referências

  1. Carlos Alberto Campagner. «Cilindro, cone e esfera». UOL - Educação. Consultado em 9 de julho de 2013 
  2. a b Dolce, Osvaldo; Pompeo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Espacial. 10. [S.l.]: Atual Editora. pp. 215–221. ISBN 978-8535717587 
  3. Cardia, Lynk (Novembro de 2014). Uma abordagem do ensino de geometria espacial (PDF) (Dissertação de Mestrado). p. 69. Consultado em 18 de Junho de 2020 

Ligações externasEditar

O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Cilindro
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