Coeficientes a determinar

O método dos coeficientes a determinar fornece uma solução particular para uma equação linear não homogênea

ay''+by'+cy=d(x)

Se conhecemos a função d=d(x), o objetivo será obter uma solução particular $y_{p}=y_{p}(x)$ que possa ser escrita como combinação linear de um conjunto linearmente independente de funções.^[1]

O problema fica mais fácil quando esta função d=d(x) tem alguma das formas abaixo.

Polinômio de grau n na variável independente

A solução procurada deverá estar na forma:

y_{p}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}

Múltiplo de uma função exponencial

A solução procurada deverá estar na forma:

y_{p}(x)=ke^{rx}

Combinação linear das funções cos(kx) e sen(kx)

Solução procurada na forma:

y_{p}(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)

Soma das formas anteriores

A solução deverá estar na forma:

=y_{p}(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)

onde $y_{1}=y_{1}(x)$ é a solução obtida na primeira forma e $y_{2}=y_{2}(x)$ é a solução obtida na segunda forma.

Produto das formas anteriores

A solução deverá estar na forma:

=y_{p}(x)=y_{1}(x)y_{2}(x)

onde $y_{1}=y_{1}(x)$ é a solução obtida na primeira forma e $y_{2}=y_{2}(x)$ é a solução obtida na segunda forma.

Observação: Se as funções sugeridas já aparecerem na solução geral da equação homogênea associada, então a sugestão para a nova função deverá ser a mesma função sugerida, multiplicada por x.^[2]

Exemplos

Consideremos o operador diferencial linear L com coeficientes constantes e uma equação diferencial linear L(y)=d(x).^[3]

L(y)=d(x)	Forma da solução procurada
$L(y)=3x^{2}$	$y(x)=ax^{2}+bx+c$
$L(y)=7e^{3x}$	$ae^{3x}$
$L(y)=17\cos(3x)$	$y(x)=a\cos(3x)+b\sin(3x)$
$L(y)=7\sin(2x)$	$y(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)$
$L(y)=7\sin(2x)+8\cos(2x)$	$y(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)$
$L(y)=3e^{5x}+(x^{2}+7x+3)$	$y(x)=de^{5x}+[ax^{2}+bx+c]$
$L(y)=y(x)=3e^{5x}(x^{2}+7x+3)$	$y(x)=e^{5x}[ax^{2}+bx+c]$
$L(y)=3e^{5x}\sin(2x)$	$y(x)=e^{5x}[a\cos(2x)+b\sin(2x)$