Convergência fraca

Em matemática, a convergência fraca é um importante conceito da análise funcional aplicado no estudo dos espaços vectoriais topológicos tais como os espaços de Hilbert ou espaços de Banach.

No espaços $\mathbb {R} ^{n}\,$ ou $\mathbb {C} ^{n}\,$ convergência fraca e convergência em norma são conceitos equivalentes.

Definição

Um seqüência $x_{n}\,$ em um espaço vetorial topológico $X\,$ converge fracamente para um ponto $x\,$ se:

$l(x_{n})\to l(x)\,$ para todo funcional linear limitado $l\,$

Escreve-se:

$x_{n}\rightharpoonup x\,$

Limitação

Uma seqüência fracamente convergente em um espaço localmente convexo limitada.

Exemplo

Considere o espaço de Hilbert das funções quadrado integráveis no intervalo $[0,2\pi ]\,$ e a seqüência $\{x_{n}\}\subseteq L^{2}[0,2\pi ]\,$ dada por:

$x_{n}=\sin(nx),n=1,2,\ldots \,$

Do lema de Riemann-Lebesgue, temos que:

$\langle x_{n},u\rangle :=\int _{0}^{2\pi }\sin(nx)udx\to 0,\forall u\in L^{2}[0,2\pi ]\,$

portanto:

$\sin(nx)\rightharpoonup 0,\,$ em $L^{2}[0,2\pi ]\,$

Contraste isto com o fato que:

$\|x_{n}\|:={\sqrt {\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}(nx)dx}}={\sqrt {\pi }}\,$