Crivo de Sundaram

Crivo de Sundaram é uma tabela dos números naturais ímpares compostos, feita por progressões aritméticas organizadas em colunas. O crivo baseia-se no princípio de que, ao determinar o conjunto dos números compostos ímpares, pode-se deduzir o conjunto dos números primos. A n-ésima coluna tem por primeira terminação (2n + 1)² e por diferença entre terminações consecutivas d = 4n + 2. Qualquer número ímpar diferente de 1, que não se encontre na tabela, é primo.

Considere-se um número composto ímpar da forma $n=(2p+1)(2q+1)$, onde p e q são números naturais e $q=p+k$ para algum k natural. Então,

$n=(2p+1)(2p+2k+1)[1]=4p^{2}+4p+4kp+2k+1=(2p+1)^{2}+2\cdot (2p+1)\cdot k$

com o que n encontraria-se na p-ésima columna e na k-ésima fila

Ao fazer p e k percorrerem o conjunto $\mathbb {N}$ obtêm-se o conjunto dos números que são produtos de dois ímpares que se encontram na tabela.

9
15	25
21	35	49
27	45	63	81
33	55	77	99	121
39	65	91	117	143	169
45	75	105	135	165	195	225
51	85	119	153	187	221	255	289
57	95	133	171	209	247	285	323	361
63	105	147	189	231	273	315	357	399	441
69	115	161	207	253	299	345	391	437	483	529
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Sundaram foi um matemático indiano. O crivo que este publicou em 1934 era ligeiramente diferente do modelo aqui exposto.

Forma quadrática associada

A forma quadrática $p=\left(\,k+2j+1\right)^{2}-k^{2},com\,k\in \mathbb {N} \;e\;j\in \mathbb {N} ,$ tem por menos um par (k, j) de soluções em números naturais, para cada valor de p composto. Quando p é composto, k pode tomar qualquer valor natural e também pode ser nulo, se o número p é um quadrado. O valor de j sempre é não-nulo para p composto. Uma solução (k, j) única, com j = 0, indica que p é um número primo em $\mathbb {Z}$.

Se desenvolvermos o quadrado, o resultado é análogo à expressão [1]: $p=\left(\,k+2j+1\right)^{2}-k^{2}=(2j+1)(2k+2j+1)$.

As soluções da forma quadrática não estão delimitadas, ainda que esta fórmula não pode ser utilizada para determinar a primalidade de um número. O crivo constitui um método quase de "força bruta", também impraticável para números muito grandes.

Relação de equivalência

Se reordenamos o crivo de Sundaram e o escrevermos de um modo diferente, podemos dividir os números compostos em classes disjuntas:

O critério a seguir consiste em agrupar os números que tem um mesmo divisor mínimo. Começamos por 9, que é um quadrado e seguimos por todos os múltiplos de 3 que no contenham fatores pares. Seguimos com 25, que também é um quadrado, e agrupamos todos os múltiplos de 5 que no tenham fatores menores que 5. Assim sucessivamente (Observa-se que 81 está, agora, na classe que começamos com 9). Todas estas classes de números naturais compostos ficam agrupadas em subconjuntos disjuntos dois a dois.

Agora ampliamos algo mais o conteúdo do crivo. Colocamos o mínimo divisor como precedente de cada quadrado e o aceitamos como representante da classe (é o divisor mínimo comum da classe). Também, agrupamos o 2 e todos os pares como uma classe adicional e teremos todos os números naturais - exceto o 1 - divididos em classes disjuntas. Isto indica que se foi realizado um quociente de $\mathbb {N} -\{1\}$ por uma relação de equivalência. Os representantes dessas classes são os números primos.

Referências

• Ingenuity in Mathematics – Ross Honsberger – Mathematic Association of America – 1970 – (Colección: New Mathematical Library N° 23) – página 75.