Braquistócrona

Denomina-se braquistócrona a trajectória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se que a questão não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas condições dadas é a reta que os une, mas sim, qual trajectória é percorrida no menor tempo.

Trajetória de uma partícula que se desloca ao longo de três trajetórias diferentes. A curva em vermelho é a braquistócrona.

Etimologia

A palavra braquistócrona vem do grego brakhistós (o mais curto) e khrónos (tempo).

História

Citação «Que aquele que consiga solucionar este problema conquiste o prémio que prometemos. Este prémio não é ouro nem prata (...) mas antes as honras, os elogios e os aplausos; (...) exaltaremos, pública e privadamente, por palavra e por carta, a perspicácia do nosso grande Apollo.» Johann Bernoulli-proclamação de 1697

O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses, fazerem o mesmo. Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que foi aceito.

Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do próprio, a do seu irmão Jacob, a de Leibniz, a de L'Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde).

Citação «Reconheço o leão pela sua garra.» Comentário atribuído a Johann Bernoulli referindo-se a Newton, a propósito da solução anónima apresentada

Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha recta. Esse menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de ciclóide.

Demonstração por Bernoulli

Qual a mais rápida trajetória? Experimento no Museu Estadual da Técnica e Trabalho, Mannheim

Pelo Princípio de Fermat o caminho mais rápido entre dois pontos é o que segue um raio de luz. A curva Braquistócrona corresponderá assim ao trajeto seguido pela luz num meio em que a velocidade aumenta segundo uma aceleração constante (a força da gravidade g).

A lei da conservação de energia permite expressar a velocidade de um corpo submetido à atracção terrestre pela fórmula:

$v={\sqrt {2gh}}$,

onde h representa a perda de altitude em relação ao ponto de partida. De notar que não depende do ponto de partida horizontal.

A lei da refracção indica que um raio luminoso ao longo da sua trajectória obedece à regra:

${\frac {sen{\theta }}{v}}=K$,

onde $\theta$ representa o ângulo em relação à vertical e $K$ uma constante.

Inserindo nesta fórmula a expressão da velocidade acima, tiram-se de imediato duas conclusões:

1- No ponto de partida, visto que a velocidade é nula, o ângulo também é nulo. Logo a curva braquistócrona é tangente à vertical na origem.

2- A velocidade é limitada, pois o seno não pode ser superior a 1. Esta velocidade máxima á atingida quando a partícula (ou o raio) passa pela horizontal.

Sem prejudicar a generalidade do problema, supõe-se que a partícula parta do ponto de coordenadas (0,0) e que a velocidade máxima seja atingida à altitude –D. A lei da refracção exprime-se então por:

${\frac {sen{\theta }}{\sqrt {-2gy}}}={\frac {1}{\sqrt {2gD}}}$.

Num ponto qualquer da trajectória podemos aplicar a relação:

$sen{\theta }={\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$.

Inserindo esta expressão na fórmula precedente e arrumando os termos da mesma obtém-se:

${\begin{pmatrix}{\frac {dy}{dx}}\end{pmatrix}}^{2}=-{\frac {D+y}{y}}$.

Que corresponde à equação diferencial do oposto de uma cicloide gerado pelo diâmetro D.

Formalização do problema

Considere uma curva suave $\lambda$ no plano $(x,y)$ unindo dois pontos fixos $P_{0}=(x_{0};y_{0})$ e $P_{1}=(x_{1};y_{1})$. (Suponha que $y_{0}>y_{1}$). O tempo $T$ necessário para que uma partícula localizada na posição $(x,y)$ percorra a curva $\lambda$ de $P_{0}$ até $P_{1}$ é dado por

$T=\int _{0}^{T}dt=\int _{\lambda }{\frac {ds}{v}}$

Assumimos que a força gravitacional terrestre atua no sentido negativo do eixo $y$. Assim, uma partícula localizada na posição $(x,y)$e que desliza ao longo de $\lambda$ sob a força da gravidade terá energia cinética e energia potencial dadas respectivamente como ${\frac {1}{2}}mv^{2}$ e $mgy$, em que $m$ é a massa da partícula. Pela conservação de energia, temos

${\frac {1}{2}}mv^{2}+mgy=mgy_{0},$

onde a partícula começa no repouso em $P_{0}$ com energia cinética inicial zero e energia potencial igual $mgy_{0}$. Consideramos sem perda de generalidade que $\lambda$ é parametrizada por

$\lambda :y=Y(x),\;\;x_{0}\leq x\leq x_{1}$

para alguma função $Y(x)$ adequada temos

$v={\sqrt {2g[y_{0}-Y(z)]}},\;\;\;ds={\sqrt {1+Y'(z)^{2}}}dz.$

Portanto,

$T(\lambda )=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {\frac {1+Y'(z)^{2}}{2g[y_{0}-Y(z)]}}}dz\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

Para qualquer $Y$ em $D(T)=\{Y\in \;C_{[x_{0};x_{1}]}^{1}\;|\;Y(x_{0})=y_{0}\;\,e\;\,Y(x_{1})=y_{1}\}\subseteq \;C_{[x_{0},x_{1}]}^{1}$.

Solução por meio do cálculo variacional

Para facilitar, vamos considerar , na seção de formalização do problema, $P_{0}=(0;0)$ e $P_{1}=(x_{1},y_{1})$, assim adaptando (1), temos

$T(\lambda )={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{x_{1}}{\sqrt {\frac {1+Y'(z)^{2}}{Y(z)}}}dz\;\;\;\;\;\;\;Y(0)=0\;,Y(x_{1})=y_{1}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

Agora, precisamos encontrar a função $y$que minimize (2) , com as condições de fronteiras dadas.

Considere então a função $F(x;y;y')={\dfrac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}$. Assim, $F_{y'}={\dfrac {y'}{\sqrt {y(1+y'^{2})}}}$. A condição necessária para termos um extremo para o funcional é dada pela equação de Euler-Lagrange $(F_{y}-{\dfrac {d}{dx}}F_{y'})$; como neste caso o funcional não depende de $x$, tem-se $(F-y'F_{y'}=K_{1})$, e deste modo, temos

${\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}-{\frac {y'2}{\sqrt {y(1+y'2)}}}={\frac {1}{\sqrt {y(1+y'^{2})}}}=K_{1}$

Isto é,

$y(1+y'^{2})=K_{2}$

Para resolver esta equação diferencial, insere-se um parâmetro $t$. Então considere $y'(x(t))=\cot(t)$ e assim , tem-se

$y={\frac {K_{2}}{1+\cot ^{2}t}}={\frac {K_{2}}{1+{\dfrac {(1+\cos(2t))/2}{(1-\cos(2t))/2}}}}$

Assim,

$y={\frac {K_{2}}{2}}(1-\cos(2t))$

Derivando $y$em relação a $t$, tem-se $dy=2K_{2}{\textrm {s}}en(t)\cos(t)dt$, e como $dx={\frac {dy}{y'(x)}}$, logo

$dx={\frac {2K_{2}{\textrm {s}}en(t)\cos(t)}{\cot(t)}}dt=K_{2}(1-\cos(2t))dt$

isto é,

$x(t)=K_{2}t-{\frac {K_{2}{\textrm {s}}en(2t)}{2}}+K_{3}={\frac {K_{2}}{2}}(2t-{\textrm {s}}en(2t))+K_{3}$

Desta forma, uma parametrização para$\lambda$ é dada por $(x(t);y(t))$, e fazendo $2t=\theta$, ${\frac {K_{2}}{2}}=R_{1}$ e como $x(0)=0$, então $K_{3}=0$, assim fica-se com $x(\theta )=R_{1}(\theta -{\textrm {s}}en(\theta ))$ e $y(\theta )=R_{1}(1-\cos(\theta ))$.Assim, a curva $\lambda =(x(\theta );y(\theta ))$, que é um arco de cicloide, é candidata a extremo do funcional.

Vamos agora verificar as condições suficientes para mostrar que a curva $\lambda =(x(\theta );y(\theta ))$ minimiza o funcional. Observe que o feixe de cicloide $x=r(\alpha -{\textrm {s}}en(\alpha ))$ e $y=r(1-\cos(\alpha ))$ com o centro $(0;0)$ forma um campo central que inclui o extremal

$x(\theta )=R_{1}(\theta -{\textrm {s}}en(\theta ))$ e $y(\theta )=R_{1}(1-\cos(\theta ))$

onde $R_{1}$ é determinado pela condição de que a cicloide passa pelo ponto de fronteira $P_{1}=(x_{1};y_{1})$, então $x_{1}<2\pi R_{1}$.

Além disso, como $F_{y'}={\dfrac {y'}{\sqrt {y(1+y'^{2})}}}$, então $F_{y'y'}={\dfrac {1}{{\sqrt {y}}{\sqrt {(1+y'^{2})^{3}}}}}>0$

para qualquer $y'$. Assim, verifica-se a condição suficiente para que o funcional assuma o mínimo na cicloide

$x(\theta )=R_{1}(\theta -{\textrm {s}}en(\theta ))$ e $y(\theta )=R_{1}(1-\cos(\theta ))$

Portanto temos a confirmação que a solução do problema da Braquistócrona é a cicloide.

Bibliografia

• Universidade de Lisboa-Trabalho sobre o problema de Braquistócrone
• HOUAISS, Antônio, Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa Tomo II, Lisboa:Círculo dos Leitores, 2003, ISBN 972-42-2809-8
• LI, Y. -  Lectures on Variational Methods. [s.n], 2012.  Disponível em: http://www.math.jhu.edu/~yli/Variational%20methods.pdf. Acesso em:01 de jun. 2019.
• Paul Stäckel (Ed.): Variationsrechnung. Abhandlungen von Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli, Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Adrien Marie Legendre, Carl Gustav Jacob Jacobi. Darmstadt : Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1976.