Desigualdade de Chebyshev

Em matemática, a desigualdade de Chebyshev, também conhecida por desigualdade de Bienaymé-Chebyshev, é um resultado da teoria da medida com grandes aplicações na teoria das probabilidades. O nome é dado em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração ao teorema, e ao estatístico francês Irénée-Jules Bienaymé.

Enunciado

Seja $\left(X,{\mathfrak {M}},\mu \right)\,$ um espaço de medida, $f:X\to [-\infty ,+\infty ]\,$ uma função mensurável, $g:Im(f)\to [-\infty ,+\infty ]\,$ uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então:

$\mu \left(\left\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\right\}\right)\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .$

Um caso particular de especial interesse acontece quando substituímos $f\,$ por $|f-c|\,$ e tomamos $g:[0,\infty ]\to \mathbb {R} \,$ como $g(x)=x^{2}\,$:

$\mu \left(\left\{x\in X\,:\,\,|f(x)-c|\geq t\right\}\right)\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}|f-c|^{2}\,d\mu .$

Se $f\,$ representa uma distribuição de probabilidades com média $\mu \,$ e desvio padrão $\sigma \,$ então:

$\Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}\,$

Demonstração

Defina $A_{t}:=\{x\in X:f(x)\geq t\}\,$ e seja $\mathrm {X} _{A_{t}}\,$ a função indicadora de $A_{t}\,$ em $[-\infty ,+\infty ]\,$. Então:

$0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f\,$

E, portanto:

$g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu \,$

E o resultado segue dividindo a desigualdade obtida por $g(t)\,$.

Bibliografia

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (28 de novembro de 2009). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press